Конечномерное пространство (Tkuycukbyjuky hjkvmjguvmfk)
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.
Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.
Свойства конечномерных пространств
[править | править код]Всякий элемент конечномерного пространства представим единственным образом в виде
где — поле (часто или ), над которым рассматривается пространство , — элементы базиса. Это следует из определения базиса.
Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.
- Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
- Пусть — конечномерное пространство и — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
- Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
- В любом конечномерном пространстве над полем можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве с фиксированным базисом, размерности , можно ввести скалярное произведение по правилу:
, где — компоненты векторов и соответственно.
Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:- — рефлексивное пространство[1].
- Пространство , сопряжённое к некоторому конечномерному пространству , конечномерно и его размерность совпадает с размерностью .
- Для любого подпространства конечномерного пространства существует подпространство [2] такое, что и разлагается в прямую сумму и , .
- В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
- Все нормы в конечномерном пространстве над полем эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
- Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
- Пространство над полем является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор является вполне непрерывным.
- Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над обратимый вполне непрерывный оператор.
- Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в множество предкомпактно.
- Всякий линейный оператор , определённый в конечномерном пространстве является непрерывным и даже вполне непрерывным.
- В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.
Примеры
[править | править код]- Евклидово пространство имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов
Более общий случай — пространства размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ():
- или
Если ввести норму и скалярное произведение то пространство будет евклидовым.
- — пространство всех многочленов степени не выше . Размерность этого пространства . Многочлены образуют в нём базис.
- Пусть — произвольное линейное пространство и пусть некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Это факт можно получить как при помощи теоремы Рисса-Фреше, так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.
- ↑ часто называют ортогональным дополнением к
Литература
[править | править код]- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
Для улучшения этой статьи желательно:
|