Модулярная кривая (Bk;rlxjugx tjnfgx)

Модулярная кривая $Y(\mathrm {\Gamma } )$ — это риманова поверхность или соответствующая алгебраическая кривая, построенная как фактор комплексной верхней половины плоскости H по конгруэнтной подгруппе $\mathrm {\Gamma }$ модулярной группы целочисленных 2×2 матриц SL(2, Z). Термин модулярная кривая может также использоваться для ссылок на компактифицированные модулярные кривые $X(\mathrm {\Gamma } )$ , которые являются компактификациями, полученными добавлением конечного числа точек (называемых каспами кривой $\mathbf {\Gamma }$ ) к фактору (путём действия на расширенной комплексной верхней полуплоскости). Точки модулярной кривой параметризуют классы изоморфизмов эллиптических кривых, вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы $\mathrm {\Gamma }$ . Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых без ссылок на комплексные числа, и, более того, доказывает, что модулярные кривые являются полем определения^[англ.] либо над полем Q рациональных чисел, либо над круговым полем. Последний факт и его обобщения имеют фундаментальную важность в теории чисел.

Аналитическое определение

Модулярная группа SL(2, Z) действует на верхней половине плоскости посредством дробно-линейных преобразований. Аналитическое определение модулярной кривой вовлекает выбор конгруэнтной подгруппы $\mathrm {\Gamma }$ группы SL(2, Z), то есть подгруппы, содержащей главную подгруппу конгруэнций уровня N $\mathrm {\Gamma } (N)$ для положительного целого N, где

\Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv \pm 1\mod N,b,c\equiv 0\mod N\right\}.

Минимальное такое N называется уровнем $\mathbf {\Gamma }$ . Комплексная структура может быть наложена на фактор $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H}$ для получения некомпактной римановой поверхности, обычно обозначаемой как $Y(\mathbf {\Gamma } )$ .

Компактифицированные модулярные кривые

Общая компактификация $Y(\mathrm {\Gamma } )$ получается путём добавления конечного числа точек, называемых каспами кривой $\mathrm {\Gamma }$ . Конкретнее, это делается путём соглашения, что действует $\mathrm {\Gamma }$ на расширенной комплексной полуплоскости $\mathbf {H} ^{*}=\mathbf {H} \cup \mathbf {Q} \cup \{\infty \}$ . Мы вводим топологию на $\mathbf {H} ^{*}$ путём выбора базиса:

любое открытое подмножество H,
для всех r > 0, множество $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}$
для любых взаимно простых чисел a, c и всех r > 0, образ $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}$ под действием

{\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}

где m, n такие целые, что an + cm = 1.

Это превращает $\mathbf {H} ^{*}$ в топологическое пространство, которое является подмножеством сферы Римана $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$ . Группа $\mathrm {\Gamma }$ действует на подмножестве $\mathbf {Q} \cup \{\infty \}$ , разбивая его на конечное число орбит, называемых каспами группы $\mathbf {\Gamma }$ . Если $\mathrm {\Gamma }$ действует транзитивно на $\mathbf {Q} \cup \{\infty \}$ , пространство $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} ^{*}$ становится компактификацией Александрова $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H}$ . Снова можно наложить комплексную структуру на фактор $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} ^{*}$ , превращая его в риманову поверхность, обозначаемую $X(\mathrm {\Gamma } )$ , и теперь это компакт. Это пространство является компактификацией кривой $Y(\mathrm {\Gamma } )$ ^[1].

Примеры

Наиболее общие примеры кривых — $X(N),X_{0}(N)$ и $X_{1}(N)$ , ассоциированные с подгруппами $\mathrm {\Gamma } (N),\mathrm {\Gamma } _{0}(N)$ и $\mathrm {\Gamma } _{1}(N)$ .

Модулярная кривая X(5) имеет род 0 — это сфера Римана с 12 каспами, расположенными в вершинах правильного икосаэдра. Покрытие $X(5)\rightarrow X(1)$ осуществляется путём действия икосаэдральной группы на сфере Римана. Эта группа является простой группой порядка 60, изоморфной A₅ и PSL(2, 5).

Модулярная кривая X(7) является квартикой Кляйна^[англ.] рода 3 с 24 каспами. Её можно интерпретировать как поверхность с 24 семиугольниками с каспами в центре каждой грани. Это замощение можно рассматривать с помощью детских рисунков^[англ.] и теоремы Белого — каспы являются точками, лежащими на $\infty$ (красные точки), в то время как вершины и середины рёбер (чёрные и белые точки) являются точками, лежащими над 0 и 1. Группа Галуа покрытия $X(7)\rightarrow X(1)$ является простой группой порядка 168, изометричной PSL(2, 7).

Существует явная классическая модель для $X_{0}(N)$ , классическая модулярная кривая^[англ.]. Её иногда называют модулярной кривой. Определение $\mathrm {\Gamma } (N)$ может быть переформулировано следующим образом: это подгруппа модулярной группы, которая является ядром приведения по модулю N. Тогда $\mathrm {\Gamma } _{0}(N)$ является наибольшей подгруппой верхних треугольных матриц по модулю N:

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},

а $\mathbf {\Gamma } _{1}(N)$ является промежуточной группой, определённой как:

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\ \mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.

Эти кривые имеют прямую интерпретацию как пространство модулей для эллиптических кривых с уровневой структурой и по этой причине играют важную роль в арифметической геометрии^[англ.]. Уровень N модулярной кривой X(N) — это пространство модулей для эллиптических кривых с базисом для N-кручения. Для X₀(N) и X₁(N) структура уровня является циклической подгруппой порядка N и точкой порядка N соответственно. Эти кривые изучены детально и, в частности, известно, что X₀(N) может быть определено над Q.

Уравнения, определяющие модулярные кривые, являются хорошо известными примерами модулярных уравнений^[англ.]. «Лучшие модели» могут существенно отличаться от моделей, взятых непосредственно из теории эллиптических функций. Операторы Гекке^[англ.] можно изучать геометрически как соответствие^[англ.] связанных пар модулярных кривых.

Замечание: факторы H, являющиеся компактными, оказываются для фуксовых групп $\mathbf {\Gamma }$ отличными от факторов для подгрупп модулярной группы. Их класс, построенный из алгебр кватернионов представляет интерес в теории чисел.

Род

Покрытие $X(N)\rightarrow X(1)$ является накрытием Галуа с группой Галуа SL(2, N)/{1, −1}, которая равна PSL(2, N), если N простое число. Применяя формулу Римана — Гурвица^[англ.] и теорему Гаусса — Бонне можно вычислить род X(N). Для простого уровня $p\geqslant 5$ ,

-\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,

где $\chi =2-2g$ — эйлерова характеристика, $|G|=(p+1)p(p-1)/2$ является порядком группы PSL(2, p), а $D=\pi -\pi /2-\pi /3-\pi /p$ является угловым дефектом сферического (2,3,p) треугольника. Это приводит к формуле

g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).

Тогда X(5) имеет род 0, X(7) имеет род 3, а X(11) имеет род 26. Для p = 2 или 3 нужно принимать также во внимание разветвление, то есть существование элементов порядка p в $\mathrm {PSL} (2,\mathbf {Z} )$ , и факт, что $\mathrm {PSL} (2,2)$ имеет порядок 6, а не 3. Имеется более сложная формула для рода модулярной кривой X(N) любого уровня N, которая использует дивизоры N.

Нулевой род

Поле модулярных функций — это поле функций^[англ.] модулярной кривой (или, иногда, некоторых других пространств модулей, которые оказываются неприводимыми многообразиями^[англ.]). Род нуль означает, что такое поле функций имеет единственную трансцендентную функцию в качестве генератора. Например, j-функция генерирует поле функций X(1) = PSL(2, Z)\H. Традиционное название такого генератора, который уникален с точностью до преобразования Мёбиуса и может быть должным образом нормализован, — Hauptmodul (заимствовано с немецкого, буквальный перевод — главный модуль).

Пространства X₁(n) имеют род ноль для n = 1, …, 10 и n = 12. Поскольку эти кривые определены над Q, из этого следует, что существует бесконечно много рациональных точек на каждой такой кривой, а потому бесконечно много эллиптических кривых, определённых над Q с n-вращением для этих значений n. Обратное утверждение, что возможны только эти значения n, является теоремой Мазура о кручении^[англ.].

Связь с группой Монстр

Модулярные кривые рода 0, достаточно редкие, оказываются особенно важными, поскольку они связаны с гипотезой чудовищного вздора. Первые семь коэффициентов q-расширений их главного модуля были вычислены уже в XIX-м столетии, но каков же был шок, когда те же самые большие целые числа оказались размерностями представлений наибольшей простой группы Монстр.

Другая связь заключается в том, что модулярная кривая, соответствующая нормализатору $\mathbf {\Gamma } _{0}(p)^{+}$ подгруппы $\mathbf {\Gamma } _{0}(p)$ группы SL(2, R) имеет род нуль тогда и только тогда, когда p равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71, а это в точности простые делители порядка монстра. Результат относительно $\mathrm {\Gamma } _{0}(p)^{+}$ принадлежит Жан-Пьеру Серру, Андрю Оггу^[англ.] и Джону Г. Томпсону (1970-е годы), а наблюдение относительно монстра принадлежит Оггу, который пообещал бутылку виски Jack Daniel's любому, кто первым объяснит этот факт, и это была стартовая точка теории «чудовищного вздора»^[2].

Связи уходят очень глубоко и, как продемонстрировал Ричард Борчердс, сюда вовлекаются обобщённые алгебры Каца-Муди. Работа в этой области подчёркивает важность мероморфных модулярных функций, которые могут содержать полюса и каспы, в противоположность модулярным формам, везде голоморфным, включая каспы, основной объект изучения в 20-м столетии.

См. также

Теорема Манина — Дринфельда^[англ.]
Теорема о модулярности
Многообразие Шимура^[англ.], обобщение модулярных кривых на большие размерности

Литература

Jean-Pierre Serre. Cours d'arithmétique. — 2nd. — Presses Universitaires de France, 1977. — Т. 2. — (Le Mathématicien).
Goro Shimura. Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. — Princeton University Press, 1994. — Т. 11. — (Publications of the Mathematical Society of Japan). — ISBN 978-0-691-08092-5.
Panchishkin A.A., Parshin A.N. Modular curve // Encyclopaedia of Mathematics. — ISBN 1-4020-0609-8.
Andrew P. Ogg. Automorphismes de courbes modulaires // Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres (1974–1975). — 1974. — Т. 16.

[_282c36d813307094-1] Serre, 1977.

[_fada56b81cb250c7-2] Ogg, 1974.

[1]

[2]