Комплексное многообразие (Tkbhlytvuky bukikkQjg[ny)

Компле́ксное многообразие — хаусдорфово топологическое пространство, покрытое открытыми множествами, каждое из которых гомеоморфно области в $n$-мерном комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$. При этом в пересечении двух открытых множеств преобразование локальных координат $\omega ^{i}=u^{i}(z^{1},...,z^{n})$ является комплексно-аналитическим. То есть функции $u^{i}$ являются голоморфными, а функциональный определитель не обращается в ноль:

${\frac {\partial (\omega ^{1},\dots ,\omega ^{n})}{\partial (z^{1},...,z^{n})}}\neq 0$.

Набор таких открытых множеств называется голоморфным атласом многообразия.

Примеры комплексных многообразий:

• Ориентированная двумерная поверхность.
• Комплексное $n$-мерное векторное пространство $\mathbb {C} ^{n}$.
• Комплексное проективное пространство $\mathbb {C} P^{n}$. В частности, $\mathbb {C} P^{1}$ диффеоморфно двумерной сфере.
• Комплексная эллиптическая кривая. Диффеоморфна двумерному тору $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$

Эрмитова метрика на комплексном многообразии — аналог римановой метрики для вещественного многообразия, положительно определённая эрмитова форма вида

$ds^{2}=\sum _{j,k}h_{j{\overline {k}}}dz^{j}d{\overline {z^{k}}}$,

где $h_{j{\overline {k}}}=h_{{\overline {j}}k}$ — комплексные функции.

См. также: Многообразие (значения)

Литература

• Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия. — М.: ИЛ, 1961. — 239 с.