Модель Васичека (Bk;yl, Fgvncytg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Модель Васичека (Vasicek) — однофакторная равновесная математическая модель, описывающая эволюцию так называемой мгновенной процентной ставки.

Является простейшей моделью, описывающей процесс с возвратом к среднему уровню.

Модель предложена Олдржихом Вашичеком в 1977 году. Однофакторность связана с тем, что в модели участвует лишь один источник неопределённости динамики ставки. В рамках данной модели предполагается, что процентная ставка колеблется вокруг некоторого среднего уровня.

Эта модель стала первой, учитывающей тенденцию процентных ставок к возврату к среднему (англ. mean reversion): процентные ставки не могут расти до бесконечности, так как их высокий уровень ограничит экономическую деятельность и после определённого предела сведет её на нет; с другой стороны, ставки естественным образом ограничены снизу. Таким образом, ставки должны двигаться в ограниченном диапазоне.

Недостаток модели Васичека заключается в нормальном распределении, что кроме всего прочего теоретически допускает отрицательные значения ставки (как показала практика ставок в евро, отрицательные ставки хоть и маловероятны, но все-таки возможны).

Математическая модель

[править | править код]

Математически модель записывается в виде следующего стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа (уравнение Орнштейна — Уленбека)[1]:

,

где:

  •  — винеровский процесс
  •  — средний (долгосрочный) уровень процентной ставки,
  •  — параметр, характеризующий скорость возврата к среднему значению
  •  — параметр волатильности. В модели Васичека волатильность ставки не зависит от текущего значения ставки.

В 1990 и 1991 годах были представлены модели, соответственно, Блэка — Дермана — Тоя и Блэка — Карасинского, вводящие нестационарную волатильность.

Решение уравнения приводит к следующей модели в интегральной форме:

Отсюда математическое ожидание и волатильность ставки равны:

Следовательно при имеем долгосрочный средний уровень ставки и волатильность

Кривая доходности

[править | править код]

Если процесс, описывамый моделью Васичека, задан в риск-нейтральной мере, то стоимость дисконтной облигации с единичным номиналом равна:

,

где ,

Соответственно кривая доходности (срочная структура процентных ставок), соответствующая модели Васичека, в терминах непрерывных ставок имеет вид:

,

В случае если изначально модель Васичека задана в физической вероятностной мере, то формула для кривой аналогична, но величина увеличивается на слагаемое , где - так называемая рыночная цена риска, определяемая из условия отсутствия арбитража при формировании облигаций с разными сроками до погашения.

Примечания

[править | править код]
  1. Meissner, Gunter. Correlation risk modeling and management : an applied guide including the Basel III correlation framework-- with interactive models in Excel/VBA (англ.). — Wiley, 2014. — P. 47. — ISBN 111879690X.