Винеровский процесс (Fnuyjkfvtnw hjkeyvv)
Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.
Определение
[править | править код]Случайный процесс , где называется винеровским процессом, если
где – нормальное распределение со средним и дисперсией . Величину , постоянную для процесса, далее будем считать равной .
Эквивалентное определение:
- – гауссовский процесс.
- , .
- , .
Непрерывность траекторий
[править | править код]Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.
Свойства винеровского процесса
[править | править код]- — гауссовский процесс.
- — марковский процесс.
- . Соответственно и .
- .
- и - мартингалы. Здесь под мартингалом мы понимаем
- Если — винеровский процесс, то и , также будет винеровским.
- Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если — винеровский процесс, и , то
также является винеровским процессом.
- Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
- Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум.
- Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное.
- Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма.
Многомерный винеровский процесс
[править | править код]Многомерный (-мерный) винеровский процесс — это -значный случайный процесс, составленный из независимых одномерных винеровских процессов, то есть
- ,
где процессы совместно независимы.
Связь с физическими процессами
[править | править код]Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.
Ссылки
[править | править код]- Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения