Модель Кокса-Ингерсола-Росса (Bk;yl, Tktvg-Nuiyjvklg-Jkvvg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Модель Кокса-Ингерсола-Росса (CIR-модель, модель квадратного корня) - стохастическая модель динамики краткосрочной ставки с возвратом к среднему уровню (по аналогии с моделью Васичека), а также с зависимостью волатильности ставки от уровня ставки (точнее от ее квадратного корня).

Зависимость стохастической компоненты от квадратного корня уровня ставки приводит к том, что распределение процентной ставки не является нормальным (как для модели Васичека), а является процессом с нецентральным хи-квадрат распределением.

Модель квадратного корня нередко применяется при моделировании не только процентных ставок, но и других случайных процессов.

Математическая модель

[править | править код]

Модель в форме стохастического дифференциального уравнения имеет вид:

, где

Математическое ожидание и дисперсия процесса равны

, поэтому долгосрочная средняя величина ставки равна

, поэтому долгосрочная дисперсия ставки равна

Кривая доходности

[править | править код]

Предполагая, что процесс CIR задан в риск-нейтральной мере можно показать, что стоимость дисконтной облигации при таком процессе должна быть равна

где

Можно показать, что для достаточно больших срочностей (формально - на бесконечном сроке) кривая доходности не зависит от текущей спот-ставки и зафиксирована на уровне:

То есть спот-ставки на достаточно длинные ставки немного ниже среднего уровня краткосрочной ставки. Они совпадают лишь в предельных случаях нулевой волатильности или бесконечно большой скорости возврата к среднему уровню.

Безарбитражная модель CIR

[править | править код]

Модель без дополнительных ограничений на параметры не является безарбитражной. Ограничение на параметры модели, приводящее к ее безарбитражности (согласно HJM-подходу) носит сложный характер для данной модели.

Связанные понятия

[править | править код]