Когбетлянц, Ерванд Геворгович (TkiQymlxue, Yjfgu; Iyfkjikfnc)

Ерванд Геворгович Когбетлянц
Ерванд Геворгович Когбетлянц
	арм. Երվանդ Գևորգի Կողբետլյանց
	; Ерванд Геворгович Когбетлянц на «Симпозиуме Понтиньи» в колледже Mount Holyoke, США, 1944
Дата рождения	9 (21) февраля 1888
Место рождения	Нахичевань-на-Дону, Российская империя;
Дата смерти	5 ноября 1974 (86 лет)
Место смерти	X округ Парижа, Франция;
Страна	Российская империя; Франция; Иран; США;
Род деятельности	математик
Научная сфера	математика, геофизика
Место работы	Московский университет; Донской университет; Ереванский университет; Парижский университет; Тегеранский университет; Колумбийский университет; Новая школа (Нью-Йорк); Национальный центр научных исследований Франции
Альма-матер	Московский университет
Учёная степень	доктор философии (PhD) по математике (1923)
Учёное звание	профессор
Научный руководитель	Эмиль Борель
Автограф
	Медиафайлы на Викискладе

Ерва́нд Гево́ргович Когбетля́нц (9 (21) февраля 1888 (1888-02-21), Ростов-на-Дону — 5 ноября 1974, Париж) — французский и американский математик, геофизик^[2], инженер и изобретатель армянского происхождения.

Автор метода измерения магнитных полей. Получил известность благодаря его алгоритму «Метод Когбетлянца» для сингулярного разложения матрицы (SVD) ➤. Являлся разработчиком макропрограмм для электронных вычислительных машин на IBM. Руководитель службы по науке Министерства обороны Франции (1939—1942). Известен как изобретатель трёхмерных шахмат.

Биография

Ранние годы. Учёба

Ерванд Геворгович Когбетлянц родился 9 (21) февраля 1888 года в Нахичевани-на-Дону в семье купца Геворга Мельконяновича Когбетлянца^[3].

Отец — Геворг Мельконянович Когбетлянц владел рудниками и шахтами в Ростовской области и в Донбассе, имел суда на Азовском и Чёрном морях, занимался строительной деятельностью^[3]. Мать — Егинэ Аковбян (Елена Яковлевна Хлытчиева) — дочь купца первой гильдии, гласного нахичеванской городской думы Акопа Матеосовича Хлычяна (Якова Матвеевича Хлытчиева)^[3]. Родители были последователями Армянской Апостольской церкви^[4]. Двоюродной сестрой Ерванда Когбетлянца была писательница Мариэтта Шагинян.

В 1906 году Ерванд Когбетлянц окончил с серебряной медалью гимназию в Ростове-на-Дону. В том же году отправился во Францию, поступил на математическое отделение факультета наук Парижского университета, где проучился год^[5]. В связи с финансовыми проблемами в семье Когбетлянц вернулся в Россию, продолжил учёбу на математическом отделении физико-математического факультета Московского университета с 1907 года^[4]. Его преподавателями были известные учёные Николай Егорович Жуковский и Дмитрий Фёдорович Егоров, которые оказали наибольшее влияние на студента Когбетлянца^[5]. В университете Когбетлянц учился отлично, был удостоен золотой медали за конкурсное сочинение в 1911 году^[4]. В том же году Когбетлянц женился на своей землячке Евгении Красильниковой^[5]. 29 мая 1912 года Ерванд Геворгович Когбетлянц окончил Московский университет с дипломом первой степени^[6].

В декабре 1912 года у Ерванда и Евгении родилась дочь Элеонора^[6]. Когбетлянц был оставлен при кафедре чистой математики Московского университета для подготовки к профессорской деятельности^[4]. Первая научная статья Когбетлянца была опубликована в 1913 году в «Сообщениях Харьковского математического общества»^[4]. Когбетлянц успешно сдал магистерские экзамены в 1916 году, был утвержден в должности приват-доцента Московского университета^[6]. Он начал самостоятельные исследования по теории тригонометрических рядов, его статьи публиковались в ведущих европейских научных журналах и были представлены к публикации математиком и механиком Полем-Эмилем Аппелем^[6].

Жизнь во Франции

В 1917 году в связи с революционными событиями в России Ерванд Когбетлянц переехал из Москвы в Ростов-на-Дону, некоторое время поработал в Донском университете^[6]. В том же году он переехал в Екатеринодар (ныне Краснодар). Там 1 июля 1919 года Когбетлянц был назначен на должность доцента Кубанского политехнического института^[6]. В 1920 году Когбетлянц переезжает в Ереван и утверждается в должности профессора Ереванского государственного университета^[7]^[8]. В этой должности он остаётся год, после чего, в 1921 году с семьёй эмигрирует во Францию^[7].

В Париже Русский народный университет организовал курсы высшей математики, на которых преподавал Когбетлянц^[4]. Одновременно он занимался научной деятельностью под руководством математика Эмиля Бореля^[7]. В 1923 году в Парижском университете Когбетлянц защитил докторскую диссертацию по теме «Аналогия между тригонометрическими и сферическими рядами с точки зрения их суммирования средними арифметическими»^[7]. В 1920-х годах Ерванд Геворгович Когбетлянц занимался изучением геофизики^[7]. В 1926 году он изобрёл крутильные весы нового типа, предназначенные для измерения вторых производных потенциала силы тяжести^[7]. Когбетлянц запатентовал изобретение во Франции, Германии, Великобритании и США, реализовать подобный вариометр пыталась немецкая фирма «Askania Werke»^[нем.], но распространения он не получил^[9]. В том же году Ерванд Геворгович Когбетлянц запатентовал своё другое изобретение — трёхмерные шахматы^[англ.] (патент Франции № 608196)^[7]. В 1927—1933 годах Когбетлянц был председателем союза геофизиков Франции^[2].

В 1928 году по представлению известного математика Жака Адамара была опубликована статья Ерванда Геворговича об использовании своего изобретения в определении скорости распространения гравитации^[9]. Когбетлянц преподавал на русском отделении физико-математического факультета Парижского университета^[10]. В 1932 году на Международном конгрессе математиков в Цюрихе Когбетлянц выступил с двумя докладами^[10]. Один из них был посвящён измерению скорости гравитационного притяжения, а другой — теории тригонометрических рядов. Совместно с научной деятельностью Ерванд Геворгович Когбетлянц занимался общественными делами: он один из основателей и член правления Русского академического союза во Франции, член совета парижского Научно-философского общества, сотрудник Русского химического общества^[2]. В конце 1920-х годов Когбетлянц запатентовал своё второе спортивное изобретение — Теннис для игры на трёх полях (патент Франции № 672683)^[10].

Жизнь в Иране и в США

В 1933 году Ерванд Геворгович Когбетлянц переехал в Персию^[4]. Он в течение шести лет был профессором астрономии и математического анализа в Тегеранском университете^[10]. В 1936 году он, как член иранской делегации, участвовал в работе Международного конгресса математиков в Осло и сделал доклад по гравиметрии^[10]. В 1937 году он выступил в Тегеране с докладом, посвящённым рассмотрению влияния солнечных пятен на человечество^[10]. В том же году иранский франкоязычный журнал «Le Journal de Téhéran»^[англ.] опубликовал этот доклад^[10]. В 1939 году Когбетлянц правительством Ирана был награждён орденом Искусств и Наук^[10]^[2].

В 1939 году он вернулся в Париж и перешёл на работу в Национальный центр научных исследований^[11]. Одновременно он служил добровольцем в артиллерийском техническом отделе Французской армии^[11]^[2].

25 июля 1942 года Когбетлянц прибыл в Соединённые Штаты Америки — в Нью-Йорк^[11]. В том же году Когбетлянц перешёл на работу в Лихайский университет в Бетлехеме^[11]. Он работал в должности ассистента, преподавал математику и читал курс «Математические методы в геофизике»^[11]. В 1944 году Когбетлянц принял участие в работе «Симпозиума Понтиньи» в городе Южный Хэдли^[англ.] (штат Массачусетс), в колледже Mount Holyoke^[англ.] своим докладом «Космические факторы кризисов в жизни человечества»^[11]. В 1945 году Когбетлянц работает консультантом по геофизике в корпорации «Standard Oil» в Нью-Йорке^[12]. Также он преподавал в Новой школе социальных исследований в 1944—1954 годах, одновременно работал профессором Свободной школы с занятиями повышенного типа до 1967 года^[4]. С 1946 года Когбетлянц был профессором Колумбийского университета^[11]. В 1948 году он запатентовал своё следующее изобретение — оригинальную оптико-механическую систему для измерения компонент магнитного поля и их градиентов^[11]. В 1950 году Когбетлянц участвовал в философской конференции «Новая школа социальных исследований» с докладом «Актуальная бесконечность как инструмент размышлений»^[11].

В июне 1952 года корпорация IBM пригласила Когбетлянца на должность математика-консультанта в нью-йоркский Центр обработки данных^[13]. В 1956 году Когбетлянц избран членом Рокфеллеровского университета^[2]. Он член Нью-Йоркской Академии наук, член математических союзов ряда стран^[2]. В 1960 году была издана коллективная монография «Математические методы для цифровых компьютеров», в котором Когбетлянц написал главу «Генерация элементарных функций»^[13]. Ерванд Геворгович Когбетлянц вышел на пенсию в конце 1960-х годов и переехал в Париж^[13]. В последний год жизни он запатентовал спортивное изобретение, сделанное в 1973 году — «Игру в шестиугольные шахматы и шестиугольное го» (патент Франции № 2216769)^[14].

Ерванд Геворгович Когбетлянц скончался 5 ноября 1974 года в Париже. Он похоронен на кладбище «Пер-Лашез»^[14].

Научная деятельность

Работы Ерванда Геворговича Когбетлянца относятся к интегральным уравнениям, к ортогональным многочленам, к численному анализу, к теориям притяжения и магнетизма, к прикладной геологии^[2]. Когбетлянц известен своими исследованиями в области теории тригонометрических рядов, в определении скорости распространения гравитации, и открытиями в области математических методов для цифровых компьютеров^[15]. Он также известен своими многочисленными научными и спортивными изобретениями, такими как: крутильные весы нового типа, предназначенные для измерения вторых производных потенциала силы тяжести (1926), трёхмерные шахматы (1912)^[16], теннис для игры на трех полях, игра в шестиугольные шахматы и шестиугольное го (1973)^[15].

Над изобретением трёхмерных шахмат до Когбетлянца работали многие шахматисты и учёные, но в отличие от них, Когбетлянц помимо шахматных фигур ввёл в игру несколько новых, благодаря чему поставить мат стало возможным^[6]. Изобретение Когбетлянца состояло из восьми шахматных досок, изготовленных из прозрачного стекла и расположенных друг над другом^[6]. Игроки здесь распоряжаются 512 позициями (8 × 8 × 8), между которыми фигуры передвигаются также вверх и вниз^[6]^[16].

В 1926 году Ерванд Геворгович Когбетлянц изобрёл крутильные весы нового типа, предназначенные для изучения гравитационного поля Земли, различные от первой версии венгерского геофизика Лоранда Этвёша^[9]. Система включает в себя три массы: одна расположена на верхнем уровне, а две другие — под ней^[9]. В плане эти массы образуют равносторонний треугольник, причем таких систем в приборе три^[9]. В процессе работы над изобретением крутильных весов Когбетлянц пришёл к выводу, что крутильные весы можно использовать в эксперименте по определению скорости распространения гравитации^[9].

В 1937 году Ерванд Геворгович Когбетлянц выступил в Тегеране с докладом, посвященным рассмотрению влияния солнечных пятен на человечество, похожим на труды Александра Леонидовича Чижевского^[10]. Доклад был опубликован, но в ссылках на работы разных учёных фамилия Чижевского не встречается^[10]. Сам Чижевский учился в Московском университете в то время, когда там преподавал Когбетлянц^[10]. Совершенно иной стиль изложения и анализируемые факты доказывают, что доклад Когбетлянца самостоятельный^[10].

Во время работы в США Ерванд Геворгович Когбетлянц разработал алгоритм диагонализации матриц в процессе их сингулярного разложения, который называется «Метод Когбетлянца»^[17]^[13]. Метод Когбетлянца является известным двусторонним методом для сингулярного разложения квадратных матриц^[18]. Для вещественных $m\times n$ $(m\geqslant n;~m,n\in \mathbb {R} )$ и матрицы $\mathbf {A}$ разложение

\mathbf {A=U\Sigma V^{T}\,,\qquad (U^{T}U=I,~V^{T}V=I)}

^[19]

называется сингулярным. Для симметричной $\mathbf {A(A^{T}=A)}$ соответствующее разложение

\mathbf {A=W\Lambda W^{T}\,,\qquad (W^{T}W=I)}

^[20]

является собственным разложением $\mathbf {A}$ ^[21]. Метод выбора для быстро параллельного вычисления этих разложений называется методом Когбетлянца^[21]. Метод Когбетлянца получил много внимания учёных из-за его эффективности в качестве параллельного метода и также его возможных расширений к различным другим разложениям^[17].

В работах Когбетлянца для рядов Фурье-Лагерра были получены условия сходимости средних Чезаро в точке $x=0$ , а также в некоторых весовых лебеговых пространствах $(L^{p})$ ^[22].

Ерванд Геворгович Когбетлянц автор более 100 изданных научных трудов^[2].

Награды и членства

Орден Искусств и Наук (Иран, 1939) — за организацию Тегеранского университета, преподавание математики, прикладной геофизики и различных отраслей высшей математики в 1933—1938 годах^[23].
Член Нью-Йоркской Академии наук^[2].

Сочинения

Книги

Kogbetliantz E. G. Sur les series trigonometriques et la serie de laplace. — P.: Gauthier Villars, 1923. — 65 p.
Kogbetliantz E. G. Recherches sur l'unicité des séries ultra-sphériques. — 1926.
Kogbetliantz E. G. Sommation des séries et intégrales divergentes par les moyennes arithmétiques et typiques. — P.: Gauthier Villars, 1931.
Kogbetliantz E. G. Voies naturelles et bases des mathématiques: initiation nouvelle. — P.: Gauthier Villars, 1959. — 574 p. In two volumes
Kogbetliantz E. G. Fundamentals of mathematics from an advanced viewpoint. — N. Y.: Gordon and Breach, 1968—1969. In four volumes
Kogbetliantz E. G. Geometry and geometric analysis. — 1969.
Kogbetliantz E. G., Krikorian A. Handbook of first complex prime numbers. — L.—N. Y.: Gordon and Breach, 1971. — 998 p.

Основные научные статьи

Когбетлянц Э. Объ однократно-суммируемыхъ рядахъ Sturm-Liouville'я // Сообщения Харьковского математического общества. Вторая серия. — 1915. — Т. 14, вып. 6. — С. 251—270.
Когбетлянц Э. О сходимости разложеній по полиномамъ Чебышева-Якоби // Сообщения Харьковского математического общества. Вторая серия. — 1917. — Т. 15, вып. 5—6. — С. 285—287.
Когбетлянц Э. Ариѳмологическая аналогія тригонометрическимъ рядамъ Фурье // Сообщения Харьковского математического общества. Вторая серия. — 1918. — Т. 16, вып. 1—2. — С. 55—72.
Kogbetliantz E. G. Analogie entre les series trigonométriques et les séries sphériques au point de vue de leur som mabilité par les moyennes arithmetiques (фр.) // Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. — 1923. — Vol. 40. — P. 259—323.
Kogbetliantz E. G. Sur la sommabilité de la série ultrasphérique à l'intérieur de l'intervalle $(-1;+1)$ par la méthode des moyennes arithmétiques (фр.) // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1923. — Vol. 51. — P. 244—295.
Kogbetliantz E. G. Sur la sommation des séries divergentes par les moyennes simples et doubles (фр.) // Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. — 1925. — Vol. 42. — P. 193—216.
Kogbetliantz E. G. Sur la vitesse de propagation de l’attraction (фр.) // Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences. — 1928. — Vol. 186. — P. 944—946.
Kogbetliantz E. G. Sur la vitesse de propagation de la gravitation (фр.) // Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences. — 1930. — Vol. 191. — P. 30—31.
Kogbetliantz E. G. Sommation des séries et intégrales divergentes par les moyennes arithmétiques et typiques (фр.) // Mémorial des Sciences Mathématiques. — 1931. — Vol. 51. — P. 1—84.
Kogbetliantz E. G. Sur la vitesse de propagation de la gravitation (фр.) // Annales de Physique. — 1931. — Vol. 16. — P. 71—98.
Kogbetliantz E. G. Recherches sur la sommabilité des séries d'Hermite (фр.) // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1932. — Vol. 49. — P. 137—221.
Kogbetliantz E. G. L’humanité subit elle l’influence des taches solaires? (фр.) // Le Journal de Téhéran. — 1937.
Kogbetliantz E. G. Quantitative interpretation of magnetic and gravity anomalies (англ.) // Geophysics. — 1944. — Vol. 9. — P. 463—493.
Kogbetliantz E. G. Estimating depth and excess mass of point sources and horizontal line sources in gravity prospecting (англ.) // Geophysics. — 1946. — Vol. 11. — P. 195—210.
Kogbetliantz E. G. Solution of linear systems by diagonalization of coefficients matrix (англ.) // Quarterly of Applied Mathematics. — 1955. — Vol. 13. — P. 123—132.
Kogbetliantz E. G. Electronic computers aid geophysical interpreters (англ.) // Oil and Gas Jour. — 1956. — Vol. 54. — P. 136—139.
Kogbetliantz E. G. Computation of $e^{N}$ for $-{\mathcal {1}}<N<+{\mathcal {1}}$ // IBM Journal of Research and Development. — 1957. — Vol. 1, № 2. — P. 110—115. — ISSN 0018-8646.
Kogbetliantz E. G. Computation of $\mathrm {arctg} \ N$ for $-{\mathcal {1}}<N<+{\mathcal {1}}$ // IBM Journal of Research and Development. — 1958. — Vol. 2, № 1. — P. 43—53. — ISSN 0018-8646.
Kogbetliantz E. G. Computation of $\arcsin N$ for $0<N<1$ using an Electronic Computer // IBM Journal of Research and Development. — Vol. 2, № 3. — P. 218—222. — ISSN 0018-8646.
Kogbetliantz E. G. Computation of $\sin N$ , $\cos N$ , and ${\sqrt[{m}]{N}}$ using an Electronic Computer // IBM Journal of Research and Development. — 1959. — Vol. 3, № 2. — P. 147—152. — ISSN 0018-8646.
Kogbetliantz E. G. Generation of Elementary Functions (англ.) // Mathematical methods for digital computers. — 1960. — Vol. 1. — P. 5—35.

Патенты

Kogbetliantz E. G. Three weighted torsion balance. U.S. Patent 1 737 660, 1929
Kogbetliantz E. G. System for measuring magnetic fields. U.S. Patent 2 590 979, 1952

Примечания

↑ ¹ ² Свидетельство о смерти — С. 18.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ Армянская Советская Энциклопедия, 1979, с. 530.
↑ ¹ ² ³ Блох, 2013, с. 74.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Н. Ермолаева. Когбетлянц Эрванд Георгиевич (рус.). Институт истории естествознания и техники имени С. И. Вавилова РАН. Дата обращения: 11 января 2014. Архивировано 11 января 2014 года.
↑ ¹ ² ³ Блох, 2013, с. 75.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Блох, 2013, с. 76.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Блох, 2013, с. 77.
↑ Нерсисян, 1970, с. 179.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Блох, 2013, с. 78.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² Блох, 2013, с. 79.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Блох, 2013, с. 80.
↑ Блох, 2013, с. 81.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Блох, 2013, с. 83.
↑ ¹ ² Блох, 2013, с. 84.
↑ ¹ ² Блох, 2013.
↑ ¹ ² Bruce Grant, Hans Bodlaender. Three dimensional chess — Kogbetliantz game (англ.). The Chess Variant Pages (17 ноября 1997). Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 20 декабря 2014 года.
↑ ¹ ² C. C. Paige, P. Van Dooren. On the quadratic convergence of Kogbetliantz's algorithm for computing the singular value decomposition (англ.) // Linear Algebra and its Applications : journal. — 1986. — Vol. 77. — P. 301—313. Архивировано 24 сентября 2015 года.
↑ Josip Matejas, Vjeran Hari. Scaled Iterates by Kogbetliantz Method (неопр.) // Applied Mathematics and Computation. — 1999. — Т. 13. — С. 123—132. Архивировано 14 ноября 2012 года.
↑ $\mathbf {\Sigma }$ — по диагонали
↑ $\mathbf {\Lambda }$ — по диагонали
↑ ¹ ² Götze, Jürgen. On the Parallel Implementation of Jacobi and Kogbetliantz Algorithms (англ.) // SIAM Journal on Scientific Computing^[англ.] : journal. — Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1994. — Vol. 15, no. 6. — P. 1331—1348. Архивировано 12 января 2014 года.
↑ Бурмистрова М. Д. Некоторые вопросы теории суммирования рядов Фурье-Лагерра : автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. — М.: Механико-математический факультет МГУ, 2008. Архивировано 19 декабря 2014 года.
↑ Authors (англ.) // IBM Journal of Research and Development^[англ.] : journal. — 1958. — Vol. 2, no. 1. — P. 87. — ISSN 0018-8646. Архивировано 9 марта 2014 года.

Литература

Блох Ю. И. Причудливые ходы гиппогрифа. К 125-летию Ерванда Когбетлянца (рус.) // Природа. — М.: Наука, 2013. — № 7. — С. 74—84.
Блох Ю. И. Ерванд Когбетлянц на шахматной доске XX века // Материалы II школы-семинара «Гординские чтения». — М.: ИФЗ РАН, 2012. — С. 11—19.
McWhirter J. G. An algorithm for polynomial matrix SVD based on generalised Kogbetlianz transformations (англ.) // 18th European Signal Processing Conference. — 2010. — P. 457—461.
Götze J. On yhe parallel implementation of Jacobi and Kogbeltianz algorithms (англ.) // SIAM Journal on Scientific Computing. — 1994. — Vol. 15. — P. 1331—1348. Архивировано 12 января 2014 года.
Charlier J. P., Vanbegin M., Van Dooren P. On Efficient Implementations of Kogbetliantz's Algorithm for Computing the Singular Value Decomposition (англ.) // Numerische Mathematik. — 1988. — Vol. 52. — P. 279—300. — ISSN 0029-599X.
Когбетлянц Ерванд Геворгович // Армянская Советская Энциклопедия = Հայկական Սովետական Հանրագիտարան / В. А. Амбарцумян. — Ер., 1979. — Т. 5. — С. 530. — 720 с.
Нерсисян М. Г. Значимый центр армянской культуры. К 50-летию Ереванского государственного университета = Հայ մշակույթի նշանավոր կենտրոնը: Երևանի պետական համալսարանի 50-ամյակի առթիվ // Историко-филологический журнал АН Армянской ССР. — Ер., 1970. — № 4. — С. 177—190.

Ссылки

Профиль Эрванда Геворговича Когбетлянца на Общероссийском математическом портале
Ерванд Геворгович Когбетлянц и его трёхмерные шахматы (неопр.). mixup.ru (24 сентября 2014). Дата обращения: 20 декабря 2014. Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года.

[_5c52777e8a0bb9b0-1] ¹ ² Свидетельство о смерти — С. 18.

[_ee7eae60cd2eaa20-2] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ Армянская Советская Энциклопедия, 1979, с. 530.

[_07a9bb49eaf453a8-3] ¹ ² ³ Блох, 2013, с. 74.

[ИИЕТ-4] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Н. Ермолаева. Когбетлянц Эрванд Георгиевич (рус.). Институт истории естествознания и техники имени С. И. Вавилова РАН. Дата обращения: 11 января 2014. Архивировано 11 января 2014 года.

[_07a9bb49eaf453a9-5] ¹ ² ³ Блох, 2013, с. 75.

[_07a9bb49eaf453aa-6] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Блох, 2013, с. 76.

[_07a9bb49eaf453ab-7] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Блох, 2013, с. 77.

[_90f8e70b69421929-8] Нерсисян, 1970, с. 179.

[_07a9bb49eaf453a4-9] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Блох, 2013, с. 78.

[_07a9bb49eaf453a5-10] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² Блох, 2013, с. 79.

[_07a9c249eaf45fb1-11] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Блох, 2013, с. 80.

[_07a9c249eaf45fb0-12] Блох, 2013, с. 81.

[_07a9c249eaf45fb2-13] ¹ ² ³ ⁴ Блох, 2013, с. 83.

[_07a9c249eaf45fb5-14] ¹ ² Блох, 2013, с. 84.

[_a5ea5c8f22c489b1-15] ¹ ² Блох, 2013.

[шахматы-16] ¹ ² Bruce Grant, Hans Bodlaender. Three dimensional chess — Kogbetliantz game (англ.). The Chess Variant Pages (17 ноября 1997). Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 20 декабря 2014 года.

[Paige,_Van_Dooren-17] ¹ ² C. C. Paige, P. Van Dooren. On the quadratic convergence of Kogbetliantz's algorithm for computing the singular value decomposition (англ.) // Linear Algebra and its Applications : journal. — 1986. — Vol. 77. — P. 301—313. Архивировано 24 сентября 2015 года.

[Matejas,_Hari-18] Josip Matejas, Vjeran Hari. Scaled Iterates by Kogbetliantz Method (неопр.) // Applied Mathematics and Computation. — 1999. — Т. 13. — С. 123—132. Архивировано 14 ноября 2012 года.

[19] $\mathbf {\Sigma }$ — по диагонали

[20] $\mathbf {\Lambda }$ — по диагонали

[Götze-21] ¹ ² Götze, Jürgen. On the Parallel Implementation of Jacobi and Kogbetliantz Algorithms (англ.) // SIAM Journal on Scientific Computing^[англ.] : journal. — Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1994. — Vol. 15, no. 6. — P. 1331—1348. Архивировано 12 января 2014 года.

[Бурмистрова-22] Бурмистрова М. Д. Некоторые вопросы теории суммирования рядов Фурье-Лагерра : автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. — М.: Механико-математический факультет МГУ, 2008. Архивировано 19 декабря 2014 года.

[IBM-23] Authors (англ.) // IBM Journal of Research and Development^[англ.] : journal. — 1958. — Vol. 2, no. 1. — P. 87. — ISSN 0018-8646. Архивировано 9 марта 2014 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]