Квантовая теория рассеяния (Tfgumkfgx mykjnx jgvvyxunx)

Квантовая теория рассеяния — раздел квантовой механики, описывающий рассеяние частиц на изолированном рассеивающем центре. В простейшем случае, этот центр характеризуется потенциалом. Обычно предполагается, что потенциал стремится к нулю по мере удаления от рассеивающего центра.

Постановка задачи

Постановка задачи о квантовом рассеянии

В учебнике Ландау и Лифшица по квантовой механике задача о рассеянии ставится следующим образом.

На силовой центр падает пучок частиц с волновым вектором ${\vec {k}}_{0}$ и плотностью $N$. Измеряется число частиц $dN$, которые попадают в детектор в единицу времени:

$dN=q(\theta ,\phi )Nd\Omega$,

где $\theta$ и $\phi$ сферические углы детектора в системе координат, начало которой помещено в рассеивающий центр (ось $z$ направлена вдоль вектора ${\vec {k}}_{0}$, а $d\Omega$ — телесный угол, под которым детектор виден из начала координат. Для решения этой задачи рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\Delta +V(r)\right)\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})$.

Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси $z$, описывается плоской волной: $\psi ({\vec {r}})=\exp(i{\vec {k}}_{0}\cdot {\vec {r}})$. Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида $A(\theta ,\phi ){\frac {exp(ik_{0}r)}{r}}$, следовательно, будем искать решение уравнения Шрёдингера со следующей асимптотикой на бесконечности:

$\psi ({\vec {r}})\approx \exp(i{\vec {k}}_{0}\cdot {\vec {r}})+A(\theta ,\phi ){\frac {\exp(ik_{0}r)}{r}}$.

В результате решения этого уравнения мы получим амплитуду рассеяния $A(\theta ,\phi )$ и, следовательно, эффективное сечение рассеяния $d\sigma =|A(\theta ,\phi )|^{2}d\Omega$. При решении задач рассеяния в квантовой механике широко применяется метод фазовых функций.

Классическое и квантовое рассеяние

Вышеприведенная постановка задачи существенно отличается от классической теории рассеяния, где начальное условие характеризуется прицельным параметром. В квантовой механике понятие траектории теряет смысл, поэтому говорить о прицельном параметре некорректно.

Возможна формулировка задачи о рассеянии, которая допускает единую интерпретацию как в классической, так и в квантовой механике

Обратная задача квантовой теории рассеяния

Обратная задача квантовой теории рассеяния — определение вида рассеивающего потенциала по известным характеристикам рассеяния в квантовой механике. Имеет большое практическое значение в экспериментальной физике элементарных частиц для интерпретации экспериментальных данных по рассеянию и определения различных характеристик элементарных частиц, не измеряемых непосредственно на опыте

Обратная задача квантовой теории рассеяния решена исчерпывающим образом для случев сферически симметричного потенциала $V({\vec {x}})=v(r)$, удовлетворяющего условию $\int _{0}^{\infty }r\left|v(r)\right|dr<\infty$, а также для одномерного уравнения Шредингера и для систем уравнений с радиальными операторами.

Сферически симметричный потенциал определяется по заданной для всех значений волнового вектора $k$ одной из фаз $\eta _{l}(k)$ S-матрицы $S(k)=e^{-2i\eta (k)}$. Если соответствующий радиальный оператор Шредингера $H^{l}$ имеет дискретный спектр, то потенциал определяется по фазе $\eta _{l}(k)$ неоднозначно

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
• С. Сунакава Квантовая теория рассеяния. - М., Мир, 1979. - 265 c.
• Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелявиcтской квантовой механике. - М., Наука, 1966.
• Ву Т. Ю., Омура Т. Квантовая теория рассеяния. - М., Наука, 1969.
• Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений. - М., Мир, 1967.
• Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. - М., Мир, 1969.
• Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. - М., Мир, 1969.
• Мигдал А. Б., Крайнов В. П. Приближенные методы квантовой механики. - М., Наука, 1966.
• Жигунов, В. П., Захарьев, Б. Н. Методы сильной связи каналов в квантовой теории рассеяния. - М., Атомиздат, 1974. - 223 с.
• Де Альфаро, В., Редже, Т. Потенциальное рассеяние. - М., Мир, 1966. - 274 с.
• Крейн Г. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
• Агранович М. С., Марченко В. А. Обратная задача квантовой теории рассеяния. — М.: Физматгиз, 1959. — 267 с.