Альтернатива Жиса — Маргулиса (Gl,myjugmnfg "nvg — Bgjirlnvg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Альтернатива Жиса — Маргулиса — теорема о строении подгрупп группы гомеоморфизмов окружности, являющаяся аналогом альтернативы Титса.

В 1987 году Этьен Жис[фр.] и Влад Сержиеску показали, что группа гомеоморфизмов окружности не удовлетворяет альтернативе Титса[1]. А именно, группа Томпсона , которая вкладывается в группу , не содержит ни разрешимых подгрупп конечного индекса, ни неабелевых свободных подгруппы.

В своём докладе на симпозиуме по динамическим системам, проходившем в Париже в июне 1998 года, Этьен Жис высказал предположение о том, что, тем не менее, в этом случае верен определённый аналог альтернативы Титса, который ему удалось доказать в аналитическом случае. В общем случае его гипотеза была доказана в 2000 году Григорием Александровичем Маргулисом[2].

Формулировка

[править | править код]

Для любой подгруппы выполняется хотя бы одно из следующих условий:

Во втором случае группа также содержит свободные подгруппы всех конечных и счётного рангов, поскольку свободная группа ранга два содержит их.

Если все элементы группы являются изометриями (например, поворотами или отражениями), то мера Лебега на окружности инвариантна относительно действия группы .

Если действие группы на окружности имеет хотя бы одну конечную орбиту, то среднее дельта-мер Дирака[англ.], соответствующих точкам этой орбиты, является вероятностной мерой, инвариантной относительно .

Для группы Томпсона реализуется второе условие — она содержит неабелеву свободную подгруппу. Это связано с тем, что её действие на окружности минимально (см. далее).

Примечательным следствием альтернативы Жиса — Маргулиса является следующая теорема о структуре минимальных действий групп на окружности.

Для любой подгруппы , действующей на окружности минимально, выполняется в точности одно из следующих условий:

  • группа содержит абелеву подгруппу индекса не более два и действие на сопряжено действию изометриями, а точнее, существует такой сохраняющий ориентацию автогомеоморфизм , что ;
  • группа содержит свободную подгруппу ранга два.

В случае, если все гомеоморфизмы из сохраняют ориентацию, то есть , в первом условии можно заменить на группу вращений и, тем самым, в этом случае группа сама абелева.

Указанная теорема следующим образом выводится из альтернативы Жиса — Маргулиса[3]. В силу минимальности носитель вероятностной меры, инвариантной относительно данного действия группы, совпадает со всей окружностью. Любая борелевская вероятностная мера на окружности , носитель которой совпадает со всей окружностью, может быть переведена некоторым сохраняющим ориентацию автогомеоморфизмом в меру Леберга[4]. Тем самым, действие, полученное сопряжением таким автогомеоморфизмом окружности, сохраняет меру Лебега, то есть является действием изометриями.

Доказательство

[править | править код]

В своём доказательстве альтернативы Маргулис сначала устанавливает истинность указанного выше следствия, а затем выводит из него общий случай с помощью определённого рассуждения, принадлежащего Стивену Хёрдеру.

Доказательство частного случая альтернативы, соответствующего следствию, состоит в следующем.

Если действие группы на окружности равномерно непрерывно, то замыкание группы в пространстве , рассматриваемом с компактно-открытой топологией, компактно. В этом случае искомая инвариантная мера на окружности может быть получена усреднением (вероятностной) меры Хаара на этом замыкании[4].

Если минимальное действие на окружности не является равномерно непрерывным, то оказывается, что оно является проксимальным, то есть для любых двух точек существует такая бесконечная последовательность элементов из , что

.

Далее устанавливается, что к группе, действующей минимально и проксимально на окружности, применима лемма о пинг-понге[англ.], откуда следует, что она содержит свободную подгруппу ранга два.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]