Минимальность (динамические системы) (Bnunbgl,ukvm, (;nugbncyvtny vnvmybd))

Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории динамических систем, динамическая система называется минимальной, если у неё нет нетривиальных (замкнутых) подсистем.

Определения

[править | править код]

Динамическая система называется минимальной, если для любого замкнутого

,

либо пусто, либо совпадает со всем .

Поскольку замыкание любой орбиты является инвариантным множеством, то определение можно эквивалентно переформулировать следующим образом: динамическая система минимальна, если любая её орбита всюду плотна.

Также, инвариантное подмножество фазового пространства системы называется минимальным множеством, если ограничение системы на него минимально.

  • Минимальная система либо состоит из одной орбиты, либо не имеет ни неподвижных точек, ни периодических орбит.
  • Минимальный диффеоморфизм окружности эргодичен (теорема Катка-Эрмана).
  • Иррациональный поворот минимален.
  • Сдвиг на постоянный вектор на торе минимален тогда и только тогда, когда координаты вектора сдвига и единица линейно независимы над .
  • Диффеоморфизм окружности минимален тогда и только тогда, когда он сопряжён иррациональному повороту.
  • Существует сохраняющий меру Лебега диффеоморфизм двумерного тора, который минимален, но не эргодичен (пример Фюрстенберга).

Литература

[править | править код]

Каток А. Б., Хассельблат Б.[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 42. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.