Альтернатива Титса (Gl,myjugmnfg Mnmvg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.

Формулировка

[править | править код]

Пусть  конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для выполняется в точности одно из следующих утверждений

Вариации и обобщения

[править | править код]

Говорят, что группа удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что конечно порождена.

Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

О доказательстве

[править | править код]

В доказательстве рассматривают замыкание группы в топологии Зарисского. Если разрешима, то и группа разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа в компоненте Леви . Если она некомпактна, то пинг-понг лемма[англ.] завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе корни единицы, а значит, образ конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.

Примечания

[править | править код]
  1. Ivanov, Nikolai. Algebraic properties of the Teichmüller modular group (англ.) // Dokl. Akad. Nauk SSSR : journal. — 1984. — Vol. 275. — P. 786—789.
  2. McCarthy, Jenny. A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc. : journal. — 1985. — Vol. 291. — P. 583—612. — doi:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
  3. Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael. The Tits alternative for Out(Fn) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2000. — Vol. 151, no. 2. — P. 517—623. — doi:10.2307/121043. — arXiv:math/9712217. — JSTOR 121043.