Альтернатива Титса (Gl,myjugmnfg Mnmvg)

Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.

Формулировка

Пусть $G$ конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для $G$ выполняется в точности одно из следующих утверждений

• Либо $G$ почти разрешима, то есть  содержит разрешимую подгруппу конечного индекса.
• Либо $G$ содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.

Следствия

• Линейная группа не аменабельна, тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу.
  • Иначе говоря, гипотеза фон Неймана справедлива и для линейных групп.
• Альтернатива Титса является важным компонентом в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста. 

Вариации и обобщения

Говорят, что группа $G$ удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы $H<G$ почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что $H$ конечно порождена.

Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:

• Гиперболические группы
• Группа классов преобразований поверхности
• $Out(F_{n})$

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

• Группа Григорчука;
• Группа F Томпсона.

О доказательстве

В доказательстве рассматривают замыкание ${\bar {G}}$ группы $G$ в топологии Зарисского. Если ${\bar {G}}$ разрешима, то и группа $G$ разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа $G$ в компоненте Леви ${\bar {G}}$. Если она некомпактна, то пинг-понг лемма завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе $G$ корни единицы, а значит, образ $G$ конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.

См. также

• Альтернатива Жиса — Маргулиса

Ссылки

• Tits, J. Free subgroups in linear groups (неопр.) // Journal of Algebra. — 1972. — Т. 20, № 2. — С. 250—270. — doi:10.1016/0021-8693(72)90058-0.