Экранирование в модели Томаса — Ферми (|tjgunjkfguny f bk;yln Mkbgvg — Syjbn)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Экранирование в модели Томаса — Ферми - это теоретический подход к расчету влияния экранирования электрического поля носителями заряда в твердом теле.[1] Это особый случай более общего подхода в теории Линдхарда; в частности, экранирование Томаса-Ферми возникает как предельный случай формулы Линдхарда, когда волновой вектор (величина, обратная характерному размеру) намного меньше, чем фермиевский волновой вектор, то есть в длинноволновом пределе.

Волновой вектор Томаса-Ферми (в системе единиц СГС) записывается в виде

где μ — химический потенциал (уровень Ферми), n — электронная концентрация и е — это элементарный заряд.

Во многих случаях, включая слаболегированные полупроводники, nеμ/кBТ, где kB — это постоянная Больцмана и T — температура. В этом случае

то есть 1/к0 определяется по привычной формуле для дебаевской длины. В противоположном случае, в низкотемпературном пределе Т=0, электроны ведут себя как квантовые частицы (фермионы). Такая аппроксимация применима к металлам при комнатной температуре, и волновой вектор Томаса-Ферми kTF приведенный в атомных единицах составляет

.

Тогда при использовании единиц СГС (масса электрона и постоянная Планка на волновые вектора для экранировки связаны соотношением .

Данное выражение применимо только для трёхмерной задачи в одномерном и двумерном случаях надо использовать теорию Линдхарда.

Связь между плотностью электронов и внутренним химическим потенциалом

[править | править код]

Внутренний химический потенциал (тесно связан с уровнем Ферми, см. ниже) системы электронов описывает, сколько энергии требуется затратить, чтобы добавить лишний электрон в систему, пренебрегая электрической потенциальной энергией. Очевидно, что по мере увеличения числа электронов в системе (при прочих равных), внутренний химический потенциал возрастает. Это обусловлено тем, что электроны удовлетворяют принципу Паули: уровни с меньшей энергией заполнены, поэтому новые электроны должны занимать все более высокие энергетические состояния. (Впрочем, это верно и в целом, независимо от принципа Паули.)

Эта взаимосвязь описывается функцией , где n, электронная плотность является функцией μ, внутренний химический потенциал. Точная функциональная форма зависит от системы. Например, для трехмерного газа невзаимодействующих электронов при абсолютном нуле температуры, верно соотношение . Доказательство: с учётом спинового вырождения,

(в этом контексте—то есть при абсолютном нуле—внутренний химический потенциал чаще называют энергией Ферми).

В качестве другого примера, для полупроводника n-типа при низких и умеренных концентрациях электронов, где kB — это постоянная Больцмана и T — температура.

Локальная аппроксимация

[править | править код]

Основное предположение в модели Томаса-Ферми заключается в том, что внутренний химический потенциал в каждой точке r зависит только от электронной концентрации в этой точке r. Это не выполняется всегда потому, из-за принципа неопределенности Гейзенберга. Электрон не может существовать в одной точке; каждый расплываться в волновой пакет, который имеет размер ≈ 1/kF, где kF — это волновое число Ферми, то есть типичное волновое число для состояний на Ферми-поверхности. Поэтому нельзя определить химический потенциал в одной точке, независимо от электронной плотности в близлежащих точках.

Тем не менее, модель Томаса-Ферми, скорее всего, будет достаточно точной аппроксимацией, если потенциал не сильно изменяется на длинах сравнимых или меньших чем 1/kF. (Эта длина обычно соответствует нескольким атомным расстояниям в металлах.)

Электроны в равновесии, нелинейное уравнение

[править | править код]

Наконец, в модели Томаса-Ферми предполагается, что электроны находятся в равновесии, что означает, что суммарный химический потенциал одинаков во всех точках. (В электрохимической терминологии, «электрохимический потенциал электронов одинаков на всех точках». В физике полупроводников «уровень Ферми плоский».)

Для этого необходимо, чтобы колебания внутреннего химического потенциала соответствовали равным и противоположным по знаку изменениям в электрической потенциальной энергии. Это утверждение порождает «основное уравнение нелинейной модели Томаса-Ферми»:[1]

где n(μ)- функция которую обсуждали выше (плотность электронов как функция внутреннего химического потенциала), e — это элементарный заряд, r — позиция, и это индуцированный заряд в точке r. Электрический потенциал определяется таким образом, что в точках, где материал не имеет заряда (число электронов в точности равно числу ионов — условие электронейтральности), и аналогично μ0 определяется как внутренний химический потенциал в точках, где материал не имеет заряда.

Линеаризация, диэлектрическая функция

[править | править код]

Если химический потенциал не слишком сильно изменяется, то вышеприведенное уравнение линеаризуется:

где оценивается при μ0 и воспринимается как постоянная величина.

Теперь можно преобразовать это выражение в диэлектрическую функцию зависящую от волнового вектора:[1]

(СГС-Гаусса)

где

На больших расстояниях (q→0), диэлектрическая постоянная приближается к бесконечности, отражая тот факт, что заряды всё ближе и ближе к идеальной экранировке, как если бы наблюдать за ними издалека.

Пример: точечный заряд

[править | править код]

Если точечный заряд Q находится при r=0 в твердом теле, то какое электрическое поле он создаст если учитывать экранировку?

Кто-то ищет самосогласованное решение системы двух уравнений:

  • Формула для экранирования Томаса-Ферми задаёт плотность зарядов в каждой точке r как функция потенциала в этой точке.
  • Уравнение Пуассона (выводится из закона Гаусса) связывает вторую производную потенциала с плотностью заряда.

Для нелинейной формулы Томаса-Ферми, решение этих уравнений одновременно может быть сложно, и, как правило, не существует аналитического решения. Однако линеаризованная формула имеет простое решение:

(СГС-Гаусса)

С k0=0 (отсутствие экранировки), это выражение становится привычным законом Кулона.

Обратите внимание, что существует эффект диэлектрической проницаемости в дополнение к экранированию что обсуждали выше, например, вследствие поляризации неподвижных электронов ядра. В этом случае, следует заменить Q на Q/ε, где ε-относительная диэлектрическая проницаемость за счет этих вкладов.

Результаты для произвольной температуры

[править | править код]
Эффективная температура для экранирования в модели Томаса-Ферми. Примерный фит объясняется в статье, и использует степень p=1.8.

функция температуры и энергии Ферми Это накладывает условие на внутренний химический потенциал , для нахождения которого нужно привлекать обратный интеграл от распределения Ферми-Дирака:

.

можно выразить в терминах эффективной температуры : , или . Общий результат для

В классическом пределе мы находим , хотя в пределе вырождения мы найдем . Простое приближение, которое восстанавливает оба предельных случая для любой степени . Значение, которое дает хорошее соглашение с точным результатом для всех это , это значение имеет максимальную относительную погрешность < 2,3 %.

Список литературы

[править | править код]
  1. 1 2 3 N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976)