Теория Линдхарда (Mykjnx Lnu;]gj;g)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теория Линдхард[1][2] — метод расчета эффекта экранировки электрического поля электронами в твердом теле. Он базируется на квантовой механике (первый порядок теории возмущений) в пpиближении случайных фаз.

Экранирование в модели Томаса — Ферми получается как частный случай более общей формулы Линдхарда. В частности, экранирование Томаса — Ферми это не что иное как длинноволновое приближение, а именно когда волновой вектор (величина, обратная характерной длины) намного меньше, чем феpмиевский волновой вектор[2].

В этой статье используется система единиц СГС.

Для продольной диэлектрической функции формула Линдхарда задаётся выражением

Здесь это и  — функции распределения Ферми — Дирака (см. также статистика Ферми-Дирака) для электронов в термодинамическом равновесии. Однако формула Линдхарда справедлива и для неравновесных функций распределения.

Анализ формулы Линдхард

[править | править код]

Чтобы понять формулу Линдхард, давайте рассмотрим несколько предельных случаев в 2 и 3 измерениях. 1-мерным случае считается другим способом.

Трёхмерный случай

[править | править код]

Длинноволновой предел

[править | править код]

Во-первых, рассмотрим предельный длины волны ().

Для знаменателя формулы Линдхард, мы получаем

,

и для числителя формулы Линдхарда, мы получаем

.

Подставляя эти выражение в формулу Линдхарда и, взяв предел, получаем

,

где мы использовали ,  — фурье образ кулоновского потенциала, .

(В единицах СИ, замените фактор на .)

Этот результат совпадает с классической диэлектрической функцией.

Статический предел

[править | править код]

Во-вторых, рассмотрим статический предел (). Формула Линдхарда принимает вид

.

Вводя выше равенств для знаменателя и числителя, получаем

.

При условии равновесного распределения Ферми-Дирака, мы получаем

здесь мы использовали и .

Поэтому

Здесь это трёхмерный волновой вектор отвечающий за экранирование определяемый как .

Тогда, трёхмерный статический потенциал экранирования кулоновского потенциала задаётся формулой

.

Преобразование Фурье-этой функции дает

известный как потенциал Юкавы. Обратите внимание, что в этом Фурье-преобразовании, которое представляет собой сумму по всем мы использовали выражение для маленьких для каждого значения что неправильно.

Статически экранированный потенциал(верхняя криволинейная поверхность) и потенциал кулона(нижняя криволинейная поверхность) в трех измерениях

Для вырожденного газа(Т=0), энергия Ферми определяется

,

так что плотность

.

При T=0, таким образом .

Подставляя это в выражение для 3D экранированного волнового вектора

.

Это выражение соответствует формуле для волнового вектора экранировки Томаса-Ферми.

Для справки, экранировка Дебая-Хюккеля, которая описывает невырожденный предельный случай приводит к результату

.

Двухмерный случай

[править | править код]

Длинноволновой предел

[править | править код]

Во-первых, найдём длинноволновой предел ().

Для знаменателя формулы Линдхард,

,

и для числителя,

.

Подставляя их в формулу Линдхард и приняв предел мы получаем

где мы использовали , и .

Статический предел

[править | править код]

Во-вторых, рассмотрим статический предел (). Формула Линдхарда запишется в виде

.

Подставим теперь найденные выше выражения для знаменателя и числителя, получаем

.

При условии равновесной функции распределения Ферми-Дирака, мы получаем

здесь мы использовали и .

Поэтому

 — это двумерный волновой вектор для экранирования (2D обратная длина экранирования) определяется как .

Тогда, в 2D статически экранированный Кулоновского потенциал дается

.

Известно, что химический потенциал 2-мерной Ферми-газа дается выражением

,

и .

Так, в 2D волновой вектор экранирования

Обратите внимание, что этот результат не зависит от N.

Одномерный случай

[править | править код]

На этот раз, рассмотрим некоторый обобщенный случай для уменьшения размерности. Чем ниже размерность, тем слабее экранирующий эффект. В пространстве с низкой размерностью некоторые силовые линии проходят через материал барьера, где экранировка отсутствует. Для 1-мерного случая, мы можем предположить, что экранировка влияет только на линии поля, которые располагаются очень близко к оси провода.

Эксперимент

[править | править код]

В реальном эксперименте, мы должны также взять во внимание объемный эффект экранировки, даже если мы имеем дело со случаем 1D. Д. Дэвис примененил теорию экранирования Томаса-Ферми для электронного газа ограниченного одномерным каналом и коаксиальным цилиндром. Для K2Рt(СN)4Cl0.32·2.6 Н20, было установлено, что потенциал в области между нитью и цилиндром варьируется как и его эффективная длина экранировки в 10 раз больше чем для металлической платины.

Список литературы

[править | править код]
  • Haug, Hartmut. Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors (4th ed.) (англ.). — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2004. — ISBN 981-238-609-2.
  • Д. Дэвис Томаса-Ферми скрининг в одном измерении, физ. Откр. Б, 7(1), 129, (1973)

Примечания

[править | править код]
  1. Lindhard, J. On the properties of a gas of charged particles (неопр.) // Danske Matematisk-fysiske Meddeleiser. — Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, 1954. — Т. 28, № 8. — С. 1—57. Архивировано 23 ноября 2018 года.
  2. 1 2 N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976)