Эволюционный процесс (математика) (|fklZenkuudw hjkeyvv (bgmybgmntg))

Эволюцио́нный проце́сс (процесс с дифференциальным законом развития^[1]) (англ. evolutionary process, от лат. evolutio ― развёртывание^[2] и processus — продвижение^[3]) ― процесс, обладающий свойством детерминированности, конечномерности и дифференцируемости^[4].

Основная задача теории дифференциальных уравнений — определение или исследование движения эволюционной системы по векторному полю фазовой скорости. Например, исследуется вопрос о виде фазовых кривых: уходят ли фазовые кривые данного векторного поля в фазовом пространстве на бесконечность или остаются в ограниченной области^[5]?

Определения

Детерминированный процесс

Детерминированный процесс — процесс, для которого состояние в настоящее время однозначно определяет как весь его будущий ход (то есть будущие состояния), так и всё его прошлое (то есть прошлые состояния)^[4].

Фазовое пространство детерминированного процесса — множество всевозможных состояний процесса^[4].

Фазовая точка — точка фазового пространства^[6].

Примеры. Детерминированные процессы в классической механике суть движение таких механических систем, будущее и прошлое которых однозначно определяются начальными условиями (то есть начальными положениями и начальными скоростями всех точек системы). Фазовое пространство механической системы — множество, элемент которого есть набор положений и скоростей всех точек системы^[4].

Недетерминированный процесс — движение частиц в квантовой механике^[4].

Полудетерминированный процесс — распространение тепла, для которого будущее определяется настоящим, а прошлое — нет^[4].

Конечномерный процесс

Конечномерный процесс — детерминированный процесс, фазовое пространство которого конечномерно, то есть описывается конечным числом параметров^[4].

Примеры. Конечномерный процесс — ньютоновская механика систем из конечного числа материальных точек или твёрдых тел. Фазовые пространства этих систем имеют следующие размерности^[4]:

систем из $n$ материальных точек — $6n$ ;
система из $n$ твёрдых тел — $12n$ .

Бесконечномерные процессы — движение жидкостей и газа в гидродинамике, колебания струны и мембраны, распространение волн в оптике и акустике^[4].

Дифференцируемый процесс

Дифференцируемый процесс — детерминированный процесс, фазовое пространство которого обладает структурой дифференцируемого многообразия, а его динамика, то есть изменение состояния со временем, описывается дифференцируемыми функциями^[7].

Примеры. Обыкновенными дифференциальными уравнениями могут быть описаны^[7]:

изменения во времени координат и скоростей точек механической системы в классической механике;
процессы радиоактивного распада и размножения бактерий (при достаточном питании), имеющие одномерное фазовое пространство, поскольку состояние процесса описывается количеством вещества или бактерий.

Не дифференцируемы движения, возникающие в теории удара. Обыкновенными дифференциальными уравнениями не описываются квантовая механика, теория теплопроводности, гидродинамика, теория упругости, оптика, акустика и теория удара^[7].

Замечание. Как вид дифференциального уравнения процесса, так и факт детерминированности, конечномерности и дифференцируемости процесса устанавливается экспериментальным путём, то есть с некоторой степенью точности. Обычно в теории не различают реальные процессы и идеализированные математические модели^[7].

Фазовое пространство

Задача об автомобилях и возах

Задача (Н. Н. Константинов^[8])(Задача об автомобилях и возах. В. И. Арнольд). Города $A$ и $B$ связаны двумя близкими непересекающиеся дорогами. Два автомобиля, связанные верёвкой длины, меньшей $2l$ , проехали по разным дорогам из $A$ в $B$ , не порвав верёвки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза радиуса $l$ , центры которых движутся по этим дорогам один из $A$ в $B$ , а другой из $B$ в $A$ (см. рисунок справа)^[7]?

Решение. Построим фазовое пространство процесса, описанного в задаче. Пусть одна из дорого будет первой, другая — второй. Обозначим через $x_{i}$ долю расстояния между городами $A$ и $B$ по $i$ -дороге, лежащую между городом $A$ и экипажем (автомобилем или возом) на этой дороге. Тогда положение объекта, состоящего из двух одноимённых экипажей (двух автомобилей или двух возов), находящихся на разных дорогах, можно описать точкой следующего квадрата $M$ (см. рисунок справа)^[6]:

M=\{x_{1},x_{2}\mid 0\leqslant x_{i}\leqslant 1\}.

Итак, фазовое пространство процесса — этот квадрат, а точки квадрата — фазовые точки. Получается, что каждая фазовая точка соответствует определенному положению пары одноимённых экипажей, а движение этой пары изображается движением фазовой точки в фазовом пространстве^[6].

Поясним это примерами^[6]:

начальное положение пары автомобилей (в городе $A$ ) отвечает левому нижнему углу квадрата с координатами $(0,0)$ , а движение пары автомобилей из города $A$ в $B$ есть кривая, ведущая в противоположный угол с координатами $(1,1)$ ;
начальное положение пары возов отвечает левому верхнему углу квадрата с координатами $(0,1)$ , а движение возов есть кривая, ведущей в противоположный угол квадрата с координатами $(1,0)$ — если возы доехали до своих городов.

Остаётся провести рассуждение от противного. Пусть возы разминулись по дороге и доехали до своих городов. Тогда на фазовом пространстве будут две соответствующие кривые (см. рисунок справа вверху). Но любые две кривые в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Следовательно, как бы ни двигались возы, наступит хотя бы один момент, когда пара возов займет то же самое положение $C$ в квадрате, в котором была в некоторый момент времени пара автомобилей. Но в этот момент, по условию задачи, расстояние между центрами возов будет меньше $2l$ , что противоречит предположению, что возы разминулись. Итак, возам разминуться не удастся^[6].

Основная задача теории дифференциальных уравнений

В рассмотренной задаче об автомобилях и возах не присутствуют дифференциальные уравнения, но ход рассуждений близок к их изучению: определение состояний эволюционного процесса точками фазового пространства бывает чрезвычайно полезен^[6]. Итак, уже одно построение фазового пространства дало возможность решить трудную задачу^[7].

В классической механике^[5]:

состояние эволюционного процесса движения системы $n$ материальных точек в трёхмерном пространстве определяется их значениями координат и скоростей, поэтому фазовое пространство этой системы имеет размерность $6n$ (по три координаты и три компоненты скорости на каждую точку). Например, фазовое пространство системы трёх точек (Солнце, Юпитер, Сатурн) 18-мерно;

фазовое пространство системы

n

твёрдых тел имеет размерность

12n

, поскольку добавляется три координаты, описывающие ориентацию тела в пространстве.

Фазовая кривая — траектория движения фазовой точки в фазовом пространстве^[5].

Фазовая скорость — движение фазовой точки по фазовой кривой, которое описывает движение всей системы^[5].

Вектор фазовой скорости — вектор, заданный в каждой фазовой точке фазового пространства, определяющий фазовую скорость^[5].

Векторное поле фазовой скорости — все векторы фазовой скорости в фазовом пространстве^[5].

Дифференциальное уравнение эволюционного процесса — зависимость скорости движения фазовой точки от её положения, определяемое векторным полем^[5].

Основная задача теории дифференциальных уравнений — определение или исследование движения эволюционной системы по векторному полю фазовой скорости. Например, исследуется вопрос о виде фазовых кривых: уходят ли фазовые кривые данного векторного поля в фазовом пространстве на бесконечность или остаются в ограниченной области^[5]?

Компьютеры приближенно находят решения дифференциальных уравнений на конечном отрезке времени, но не дают ответа на качественные вопросы о поведении фазовых кривых в целом^[5].

Благодаря понятию фазового пространства можно свести исследование эволюционных процессов к геометрическим задачам о кривых, которые определяются векторными полями^[5].

Интегральные кривые поля направлений

Поле направлений

Поле направлений в области на плоскости — все точки области, причём для каждой точки выбрана проходящая через эту точку прямая, которая называется прямой (направлением) поля направлений, а точка, ей соответствующая — точкой приложения прямой (см. рисунок справа, на котором показана только небольшая часть прямой около точки)^[9].

Если две гладкие кривые проходят через одну точку и в ней касаются друг друга, то они задают в этой точке одно и то же направление. Поскольку важна только касательная к кривой в точке (см. рисунок справа, где показана касательная к кривой в точке), прямые в определении поля направлений можно заменить гладкими кривыми, касательные которых в точках суть исходные направления^[10].

Непрерывное (гладкое) поле направлений — поле направлений, у которого прямые поля непрерывно (гладко) зависят от своих точек приложения^[10].

В дальнейшем все встречающиеся в статье объекты (функции, отображения и так далее) предполагаются гладкими, то есть непрерывно дифференцируемыми нужное число раз, если, конечно, не оговорено противное^[10].

Поле направлений в $n$ -мерном пространстве и вообще на любом гладком многообразии определяется аналогично^[10].

Интегральная кривая

Интегральная кривая поля направлений — кривая, которая в каждой своей точке касается имеющегося в этой точке направления поля^[10].

Термин «интегральная кривая» возник потому, что в некоторых случаях интегральная кривая находится применением операции интегрирования^[10].

Пример 1. Возможен такой случай, когда непрерывное поле направлений на плоскости переходит в себя при любых сдвигах вдоль некоторой прямой и направления, параллельные этой прямой, отсутствуют (см. рисунок справа, на котором эта прямая вертикальная)^[10].

Теорема. Интегральные кривые поля направлений. Поиск интегральных кривых поля направлений, описанного в примере 1, есть отыскание интегралов некоторой непрерывной функции^[10].

Доказательство. Рассмотрим систему координат, в которой описанная прямая — вертикальная ось ординат, а ось абсцисс горизонтальна. Получаем, что интегральная кривая данного поля, не имеющего вертикальных направлений, — график некоторой неизвестной функции, производная которой равна тангенсу угла наклона графика функции к оси абсцисс. Но график функции — интегральная кривая тогда и только тогда, когда этот тангенс равен другому тангенсу — угла наклона прямой данного поля направлений к оси абсцисс. Следовательно, этот последний тангенс — известная функция абсциссы (так как поле направлений переходит само в себя при перемещении вдоль оси ординат). Окончательно получаем, что некоторая функция, график которой есть интегральная кривая, имеет производной эту известную функцию абсциссы, то есть является её первообразной, что и требовалось доказать^[11].

Перепишем условие этой теоремы в формальном виде. Пусть $t$ — абсцисса, а $x$ — ордината. Известную функцию — тангенс угла наклона прямой поля направлений — обозначим через $v(t)$ , неизвестную функцию, график которой есть интегральная кривая, — через $\varphi$ . Кривая $x=\varphi (t)$ есть интегральная кривая тогда и только тогда, когда ${\frac {d\varphi (t)}{dt}}\equiv v(t)$ . По теореме Барроу $\varphi (t)=\int v(t)dt+C$ ^[12].

Следует иметь ввиду, что а общем случае поиск интегральных кривых не сводится к интегрированию: даже для очень простых полей направлений на плоскости уравнения интегральных кривых не получается представить в виде конечных комбинаций элементарных функций и интегралов^[12].

Пример 2. Для поля направлений с тангенсом $x^{2}-t$ угла наклона с осью $x$ прямой, приложенной в точке $(t,x)$ , не получается представить уравнения интегральных кривых в виде конечных комбинаций элементарных функций и интегралов (Лиувилль)^[12].

Дифференциальное уравнение и его решение

Решение дифференциального уравнения

Геометрический поиск интегральных кривых аналитически выглядит как решение дифференциального уравнения. Пусть поле направлений на плоскости $(t,x)$ не содержит вертикальных направлений (которые параллельны оси ординат $x$ (см. рисунок справа с таким полем). В этих условиях тангенс $v(t,x)$ угла наклона к оси абсцисс прямой поля направлений, приложенной в точке $(t,x)$ , конечен, а интегральные кривые — графики функций $x=\varphi (t)$ . Также пусть область определения функции $\varphi (t)$ — интервал $I$ оси $t$ (см. рисунок справа с этими условиями). Тогда достаточно очевидна следующая теорема^[12].

Теорема. График функции $\varphi (t)$ есть интегральная кривая тогда и только тогда, когда при всех $t\in I$ справедливо следующее равенство^[13]:

{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=v(t,\varphi (t)).

Решение дифференциального уравнения ${\dot {x}}(t)=v(t,x(t))$ — функция $\varphi (t)$ , если она удовлетворяет равенству ${\frac {d\varphi (t)}{dt}}=v(t,\varphi (t))$ , то есть уравнение ${\dot {x}}(t)=v(t,x(t))$ становится тождеством, когда функцию $\varphi (t)$ подставляют в него вместо $x$ . Другими словами, решение дифференциального уравнения — это функция, заданная на некотором интервале, и график этой функции — интегральная кривая^[14].

Начальные условия

Начальное условие $(t_{0},x_{0})$ решения $\varphi (t)$ — набор фиксированных координат $(t_{0},x_{0})$ , которому удовлетворяет решение $\varphi (t)$ , то есть имеет место равенство $\varphi (t_{0})=x_{0}$ . Другими словами, решение удовлетворяет начальному условию $(t_{0},x_{0})$ , если интегральная кривая проходит через данную точку (см. рисунок вверху справа с точкой $(t_{0},x_{0})$ )^[14].

Пример. Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение ${\dot {x}}(t)=v(t)$ с начальным условием $(t_{0},x_{0})$ . Его решение определяется формулой Барроу^[14]:

\varphi (t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}v(\tau )\,d\tau .

Поле направлений функции $v(t)$ , или поле направлений уравнения ${\dot {x}}(t)=v(t,x(t))$ — поле направлений на плоскости, определяемое дифференциальным уравнением, поскольку приложенная в точке $(t,x)$ прямая имеет тангенс угла наклона $v(t,x)$ ^[14].

Эволюционное уравнение с одномерным фазовым пространством

Автономное уравнение

Автономное дифференциальное уравнение — дифференциальной уравнение, которое явно не зависит от независимой переменной $t$ . Скорость эволюции автономной дифференциальной системы, то есть системы, не взаимодействующей с другими системами, определяется только самим состоянием этой системы. Это отражает то обстоятельство, что от времени законы природы не зависят^[14].

Рассмотрим уравнение, которое описывает эволюционный процесс с одномерным фазовым пространством^[14]:

{\dot {x}}=v(x)

.

Правая часть этого уравнения определяет векторное поле фазовой скорости, то есть в точке $x$ приложен вектор $v(x)$ (см. левую часть рисунка справа)^[14].

Положение равновесия (стационарная точка, особая точка) векторного поля — точка, где фазовая скорость $v(x)$ обращается в нуль. Другими словами, если $a$ — положение равновесия, то решение уравнения есть $\varphi (t)\equiv a$ , то есть эволюционный процесс, начавшись в состоянии положения равновесия $a$ , всегда в нём остаётся^[15].

На рисунке справа присутствует только одно положение равновесия — $a$ . Это положение равновесия неустойчиво, то есть при небольшом отклонении начального условия от равновесного фазовая точка с течением времени уходит от положения равновесия^[15].

На рисунке справа также показано поле направлений уравнения ${\dot {x}}=v(x)$ . Поскольку $v(x)$ не зависит от $t$ , поле направлений переходит в себя при сдвигах вдоль оси абсцисс $t$ ^[15].

Решение автономного уравнения

Теорема. О решении уравнения ${\dot {x}}=v(x)$ . Решение $x=\varphi (t)$ автономного уравнения ${\dot {x}}=v(x)$ , у которого:

правая часть непрерывна и не обращается в $0$ ;
начальное условие $(t_{0},x_{0})$ ,

есть выражение

t=t_{0}+\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {d\xi }{v(\xi )}};

обратно, функция $x=\varphi (t)$ , определяемая этим выражением, есть решение автономного уравнения ${\dot {x}}=v(x)$ , удовлетворяющее начальному условию^[15].

Доказательство 1. (доказательство 2 см. ниже.) Интегральные кривые поля направлений автономного уравнения ${\dot {x}}=v(x)$ находятся, согласно теореме интегральных кривых поля направлений, одним интегрированием (только в той области, где поле направлений не параллельно оси абсцисс $t$ , то есть где отсутствуют равновесия, $v(x)\neq 0$ ). Кроме того, пусть функция $v(x)$ непрерывна и нигде не обращается в нуль. Теперь можно выписать явную формулу, которая определит интегральные кривые^[15].

Заметим, что тангенс угла наклона поля направлений автономного уравнения ${\dot {x}}=v(x)$ к оси ординат $x$ равен ${\frac {1}{v(x)}}$ . Поэтому поле направлений уравнения ${\frac {dx}{dt}}=v(x)$ то же самое, что и поле направлений уравнения ${\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{v(x)}}$ . Следовательно, интегральные кривые этих уравнений одинаковые. Наконец, интегральная кривая второго уравнения ${\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{v(x)}}$ определяется формулой Барроу, а именно^[15]:

t=t_{0}+\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {d\xi }{v(\xi )}}.

Дифференциальная 1-форма

Существует мнемонический способ запомнить формулу

t=t_{0}+\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {d\xi }{v(\xi )}}:

запишем исходное уравнение в виде ${\frac {dx}{dt}}=v(x)$ и рассмотрим символ ${\frac {dx}{dt}}$ как дробь. В этих условиях перепишем уравнение, собрав все $x$ слева, а все $t$ справа: ${\frac {dx}{v(x)}}=dt$ . Проинтегрируем левую и правую части, получим исходное уравнение: $t=\int {\frac {dx}{v(x)}}$ ^[16].

На самом деле этот метод больше, чем просто мнемоническое правило. Лейбниц ввёл такое сложное обозначение ${\frac {dx}{dt}}$ для определения действительно дроби: $dx$ делённое на $dt$ . Потому что эти обозначения $dx$ и $dt$ — не таинственные «бесконечно малые» величины, а нормальные конечные числа — скалярные функции вектора, точнее, проекции вектора^[17].

Пусть дан вектор $A$ скорости некоторого движения, приложенный в какой-либо точке на плоскости с фиксированными координатами $(t,x)$ (см. рисунок справа с касательным вектором $A$ ). Рассмотрим две скалярные функции этого вектора $A$ при этом движении^[17]:

линейная скорость $dt(A)$ изменения координаты $t$ ;
линейная скорость $dx(A)$ изменения координаты $x$ .

Например, значение этих скалярных функции на векторе $A$ с компонентами $(10,20)$ есть соответственно $dt(A)=10$ и $dx(A)=20$ . Поэтому $A$ имеет компоненты $(dt(A),dx(A))$ . Приходим к следующему предложению^[17].

Предложение. Пусть дана гладкая функция $x=\varphi (t)$ . Для любого вектора $A$ , который касается её графика в некоторой точке, отношение скалярных функций ${\frac {dx(A)}{dt(A)}}$ равно производной ${\frac {dx}{dt}}$ функции $\varphi (t)$ в этой точке^[17].

Другими словами, уравнение ${\frac {dx}{v(x)}}=dt$ есть выражение с линейными скалярными функциями от некоторого приложенного вектора, который касается интегральной кривой^[17].

Дифференциальная 1-форма — скалярная функция приложенного вектора, линейная при фиксированной точке приложения^[17].

Следовательно, любую дифференциальную 1-форму на плоскости $(t,x)$ можно записать в следующем виде:

\omega =adt+bdx

,

где $a$ и $b$ — некоторые функции на плоскости^[17].

Интеграл дифференциальной 1-формы

Рассмотрим интегрирование дифференциальных форм вдоль ориентированных отрезков кривых. Пусть дана кривая на плоскости $\Gamma$ . Выберем на её отрезке ориентирующий параметр $u$ , то есть представим $\Gamma$ в виде образа гладкого отображения $\gamma \colon I\to \mathbb {R}$ (рис. 8) отрезка вещественной оси $I$ в плоскость (см. рисунок справа с кривой $\Gamma$ и отрезком $I$ ). Тогда интеграл 1-формы $\omega$ вдоль кривой $\Gamma$ определяется как вещественное число следующим образом^[18]:

\int \limits _{\Gamma }\omega =\int \limits _{\Gamma }\omega (\gamma ')du,\quad

где

\quad \gamma '={\frac {d\gamma }{du}}.

Формально, интеграл 1-формы — это предел интегральных сумм ${\text{∑}}\omega (A_{i})$ со следующими обозначениями (см. рисунок справа с этими обозначениями)^[19]:

$A_{i}=\gamma '(u_{i})\Delta _{i}$ ;
$u_{i}$ — точки, которыми отрезок вещественной оси $I$ делится на отрезки с длинами $\Delta _{i}=u_{i+1}-u_{i}$ ;
вектор $A_{i}$ касается кривой $\Gamma$ , причём он отличается от вектора хорды, которая соединяет последовательные точки деления на кривой $\Gamma$ , только малыми высшего порядка относительно $\Delta _{i}$ .

Формула замены переменной в определенном интеграле позволяет сформулировать следующие два предложение^[19].

Предложение 1. Интеграл 1-формы $\omega$ , взятый по ориентированному отрезку кривой, не зависит от выбора согласованного с ориентацией параметра (при изменении ориентации кривой интеграл меняет знак)^[19].

Предложение 2. Интеграл 1-формы $f(x)dx$ , взятый no отрезку кривой, на котором переменная $x$ есть параметр, равен обычному определенному интегралу функции $f(x)$ ^[19].

Теперь вернёмся к теореме о решении уравнения ${\dot {x}}=v(x)$ ^[19].

Доказательство 2. Значения дифференциальных 1-форм ${\frac {dx}{v(x)}}$ и $dt$ на векторах, касающихся интегральной кривой $\Gamma$ , совпадают. Следовательно, их интегралы вдоль участка кривой равны. Тогда, согласно последнему предложению 2, интеграл 1-формы $dt$ равен левой, а 1-формы ${\frac {dx}{v(x)}}$ — правой части следующей формулы^[19]:

t-t_{0}=\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {d\xi }{v(\xi )}}.

Примечания

↑ Мышкис А. Д. Эволюционное уравнение, 1985, стб. 923.
↑ Эволюция, 1978.
↑ Процесс, 1975.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 12.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 15.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 14.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 13.
↑ Константинов Н. Н. Задача, 1957.
↑ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 15—16.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 16.
↑ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 16—17.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 17.
↑ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 17—18.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 18.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 19.
↑ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 19—20.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 20.
↑ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 20—21.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 21.

Источники

Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4-е изд. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. 367 с., ил.
Мышкис А. Д. Эволюционное уравнение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 923—924.
Константинов Н. Н. Задача // Математическое просвещение. Математика, её преподавание, приложения и история. Под. ред. Я. С. Дубнова, А. А. Ляпунова, А. И. Маркушевича. Вып. 2. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. 820 с., ил. С. 268—269.
Процесс // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 21. Проба — Ременсы. 1975. 640 с. с илл., 20 илл., 3 л. карт. С. 161.
Эволюция // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1978. Т. 29. Чаган — Экс-ле-Бен. 1978. 640 с. с илл., 22 л. илл., 6 л. карт. С. 558.

[_82123f05bdc0cd7b-1] Мышкис А. Д. Эволюционное уравнение, 1985, стб. 923.

[_4c00172d79159cca-2] Эволюция, 1978.

[_58ab28c4850f5665-3] Процесс, 1975.

[_a05575521ee9b939-4] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 12.

[_8732845210ea8778-5] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 15.

[_919d975217515a2f-6] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 14.

[_96069252189bb3b2-7] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 13.

[_d8006ce8dc0144b3-8] Константинов Н. Н. Задача, 1957.

[_9c7a4a751d993fa9-9] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 15—16.

[_7cd709520a92a755-10] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 16.

[_98d12d745d7e99a9-11] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 16—17.

[_7879a6520950756e-12] ¹ ² ³ ⁴ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 17.

[_8b47c84ea99eb995-13] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 17—18.

[_6e1d2b5202f6e25b-14] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 18.

[_62d99851fbd8f854-15] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 19.

[_ad5cd77b508ef198-16] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 19—20.

[_5509175a81d29c00-17] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 20.

[_cb62108b7ec600cb-18] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 20—21.

[_58a82a5a82731df7-19] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 21.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]