Число Дотти (Cnvlk :kmmn)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Число Дотти является единственной неподвижной точкой функции косинуса.

Число́ До́тти — постоянная, определяемая как вещественное решение уравнения

где аргумент измеряется в радианах. В десятичном представлении число Дотти примерно равно .[1]

Из теоремы о промежуточном значении следует, что указанное уравнение должно иметь хотя бы одно решение. Производная функции равна и почти везде положительна, а значит, сама функция монотонно возрастает и не может иметь нескольких нулей. Таким образом, уравнение однозначно определяет рассматриваемую константу.

Значения тригонометрических функций

[править | править код]

Пусть — число Дотти. Тогда:

Число Дотти является нетривиальной притягивающей неподвижной точкой функции косинуса на сколь угодно большой своей действительной (но не комплексной) окрестности. Иначе говоря, для любого действительного число равно константе Дотти. Уравнение для комплексного имеет, кроме неё, бесконечное количество решений, однако ни одно из них не является притягивающей неподвижной точкой.

Кроме того, число Дотти трансцендентно, что можно доказать при помощи теоремы Линдемана — Вейерштрасса.[2]

С использованием теоремы Лагранжа об обращении рядов было доказано, что число Дотти представимо в виде ряда , где для любого нечётного является рациональным числом, определённым следующим образом:

Первые несколько членов последовательности равны [3][4][5][nb 1]

Формула в Excel

[править | править код]

Формула для числа Дотти в Excel или LibreOffice Calc: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2).

Происхождение названия

[править | править код]

Имя данной константе было дано Самюэлем Капланом в честь преподавательницы французского по имени Дотти, которая обнаружила её, нажимая раз за разом кнопку взятия косинуса на калькуляторе, и рассказала об этом своему мужу — учителю математики.[3]

  1. Каплан не приводит явного выражения для членов ряда, однако оно мгновенно следует из теоремы Лагранжа об обращении рядов.

Примечания

[править | править код]
  1. OEIS A003957. oeis.org. Дата обращения: 26 мая 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
  2. Eric W. Weisstein. Dottie Number. Дата обращения: 24 апреля 2020. Архивировано 18 марта 2020 года.
  3. 1 2 Kaplan, Samuel R. The Dottie Number (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 2007. — February (vol. 80). — P. 73. Архивировано 12 ноября 2020 года.
  4. OEIS A302977 Numerators of the rational factor of Kaplan's series for the Dottie number. oeis.org. Дата обращения: 26 мая 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
  5. A306254 - OEIS. oeis.org. Дата обращения: 22 июля 2019. Архивировано 22 июля 2019 года.