Постоянная Хинчина (Hkvmkxuugx }nucnug)

Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа $K_{0}\approx 2{,}685452$ , равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.

Постоянная Хинчина названа в честь Александра Яковлевича Хинчина, обнаружившего и доказавшего существование этой постоянной и формулу для неё в 1935 году^[1]. Обозначение $K_{0}$ ^[2] или $K$ ^[3] соответствует первой букве транслитерации фамилии «Хинчин» в европейских языках.

Определение

Для почти любого вещественного числа $x$ элементы $a_{i}$ его разложения в цепную дробь имеют конечное среднее геометрическое, не зависящее от $x$ ^[4]. Эта величина и называется постоянной Хинчина.

Иными словами, если

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;

,

где $a_{0}$ целое, а остальные $a_{i}$ натуральные, то для почти всех $x$ выполняется

\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2{,}6854520010\ldots

(последовательность A002210 в OEIS).

При этом постоянную Хинчина $K_{0}$ можно выразить в виде бесконечного произведения

K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}

.

Значимость

Разложение в цепную дробь любого вещественного числа — это последовательность натуральных чисел, и любая последовательность натуральных чисел является разложением в цепную дробь какого-либо вещественного числа, лежащего между 0 и 1. Тем не менее, если каким-либо образом случайно выбирать элементы последовательности натуральных чисел, то среднее геометрическое элементов, вообще говоря, совершенно не обязательно будет одним и тем же для всех или почти всех получаемых последовательностей. Поэтому существование постоянной Хинчина — то обстоятельство, что среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь оказывается одним и тем же для почти всех вещественных чисел, — это фундаментальное утверждение о вещественных числах и их разложениях в цепную дробь^[5], изящный и глубокий результат^[6], один из самых поразительных фактов в математике^[7].

Схема доказательства

Здесь приводится доказательство существования постоянной Хинчина и формулы для неё, принадлежащее Чеславу Рыль-Нардзевскому^[пол.]^[8], которое проще доказательства Хинчина, не использовавшего эргодическую теорию^[9].

Поскольку первый элемент $a_{0}$ разложения числа $x$ в цепную дробь не играет никакой роли в доказываемом утверждении и поскольку мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то можно ограничиться рассмотрением иррациональных чисел на отрезке $(0,1)$ , то есть множеством $I=[0,1]\setminus \mathbb {Q}$ . Эти числа имеют взаимно-однозначное соответствие с цепными дробями вида $[0;a_{1},a_{2},a_{3}\ldots ]$ . Введём отображение Гаусса $T\colon I\to I$ :

T([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=[0;a_{2},a_{3},\ldots ]

.

Для каждого борелева подмножества $E$ множества $I$ также определим меру Гаусса — Кузьмина:

\mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}

.

Тогда $\mu$ — вероятностная мера на сигма-алгебре Борелевых подмножеств $I$ . Мера $\mu$ эквивалентна мере Лебега на $I$ , но обладает дополнительным свойством: преобразование $T$ сохраняет меру $\mu$ . Более того, можно показать, что $T$ — эргодическое преобразование измеримого пространства $I$ , снабжённого мерой $\mu$ (это самый трудный момент в доказательстве). Тогда эргодическая теорема говорит, что для любой $\mu$ -интегрируемой функции $f$ на $I$ среднее значение $f\left(T^{k}x\right)$ — одно и то же почти для всех $x$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}f\,d\mu

для почти всех

x\in I

по мере

\mu

^[9].

Выбирая функцию $f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=\ln a_{1}$ , получаем:

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I}f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln r{\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)}}{\bigr )}}{\ln 2}}

для почти всех $[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$ из $I$ .

Беря экспоненту от обеих частей равенства, получаем слева среднее геометрическое первых $n$ элементов цепной дроби при $n\to \infty$ , а справа — постоянную Хинчина^[9].

Разложение в ряд

Постоянная Хинчина может быть представлена в виде ряда^[10]:

\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}

,

или, разделяя члены ряда,

\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1}{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]

,

где $N$ — некоторое фиксированное целое число, $\zeta (s,q)$ — дзета-функция Гурвица. Оба ряда быстро сходятся, потому что $\zeta (n)-1$ быстро приближается к нулю с ростом $n$ . Можно также дать разложение через дилогарифм^[2]:

\ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right]

.

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь различных чисел

Хотя среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь равно $K_{0}$ для почти всех чисел, но это не доказано практически ни для одного конкретного числа $x$ , кроме тех, которые специально сконструированы так, чтобы удовлетворять этому утверждению^[3]^[11]. Такое число можно построить, задавая сразу элементы его разложения в цепную дробь, например, так: любое конечное число элементов в начале не окажут никакого влияния на предельное значение среднего геометрического, поэтому их можно взять любыми (например, можно взять первые 60 элементов равными 4); каждый последующий элемент берётся равным 2 или 3 в зависимости от того, больше или меньше постоянной Хинчина среднее геометрическое всех предшествующих элементов. Для данного конкретного примера, однако, не выполняется статистика Гаусса — Кузьмина.

К числам $x$ , про которые известно, что среднее геометрическое элементов их разложения в цепную дробь не равняется постоянной Хинчина, относятся рациональные числа, квадратичные иррациональности (корни всевозможных квадратных уравнений с целыми коэффициентами) и основание натурального логарифма $e$ . Хотя рациональных чисел и квадратичных иррациональностей бесконечно много, но они образуют множество меры ноль, и потому их не нужно включать в «почти все» числа из определения постоянной Хинчина.

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь некоторых чисел, похоже (исходя из непосредственных вычислений средних для больших $n$ ), сходится к постоянной Хинчина, хотя ни в одном из этих случаев равенство в пределе не доказано. В частности, к этим числам относятся число π, постоянная Эйлера — Маскерони, число $\sin 1$ , ${\sqrt[{3}]{2}}$ , сама постоянная Хинчина. Последнее обстоятельство позволяет предположить, что постоянная Хинчина иррациональна, но точно неизвестно, является ли постоянная Хинчина рациональным, алгебраическим или трансцендентным числом^[3].

Средние степенные

Можно рассматривать постоянную Хинчина как частный случай среднего степенного элементов разложения чисел в цепную дробь. Для любой последовательности $\{a_{n}\}$ среднее степени $p$ равняется

K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}

.

Если $\{a_{n}\}$ — элементы разложения числа $x$ в цепную дробь, то $K_{p}$ для любого $p<1$ и почти всех $x$ даются формулой

K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}

.

Она получается вычислением соответствующего степенного среднего по статистике Гаусса — Кузьмина и соответствует выбору функции $f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=a_{1}^{p}$ в вышеизложенном доказательстве^[8]^[2]. Можно показать, что значение $K_{0}$ получается в пределе $p\to 0$ .

В частности, можно получить среднее гармоническое элементов разложения в цепную дробь. Это число равно

K_{-1}=1{,}74540566240\ldots

(последовательность A087491 в OEIS).

Примечания

↑ Хинчин А. Я. Metrische Kettenbruchprobleme : [нем.] : [арх. 4 февраля 2016] // Compositio Mathematica. — 1935. — Т. 1. — С. 361—382. MR: 1556899.
↑ ¹ ² ³ Bailey, Borwein & Crandall, 1997.
↑ ¹ ² ³ Weisstein, Eric W. Khinchin's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Хинчин, 1960, § 16 Средние значения, с. 110—111.
↑ McLeman, Cam. The Ten Coolest Numbers (неопр.). Дата обращения: 18 января 2016. Архивировано из оригинала 11 ноября 2020 года.
↑ Александр Яковлевич Хинчин (к шестидесятилетию со дня рождения) : [арх. 7 марта 2016] // УМН. — 1955. — Т. 10, вып. 3(65). — С. 197—212.
↑ Finch, Steven R. Mathematical Constants : [арх. 3 февраля 2017]. — Cambridge University Press, 2003. — P. 60. — Errata and Addenda. — ISBN 978-0521818056.
↑ ¹ ² Ryll-Nardzewski, Czesław. On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions) : [англ.] : [арх. 27 января 2016] // Studia Mathematica. — 1951. — Vol. 12. — P. 74—79. MR: 13:757b.
↑ ¹ ² ³ Kac, Marc. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. — Math. Association of America, and John Wiley & Sons, 1959. — P. 89—94. — ISBN 978-0883850121.
↑ Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В этой статье использовано немного отличающееся от стандартного определение дзета-функции Гурвица.
↑ Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. of the American Mathematical Society. — 2008. — Vol. 136, no. 3. — P. 815—824. — doi:10.1090/S0002-9939-07-09202-7. MR: 2361853. См. последовательность A089618 в OEIS.

Литература

Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Физматлит, 1960. — 112 с.
Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E. On the Khinchine constant (англ.) // Mathematics of Computation. — 1997. — Vol. 66, no. 217. — P. 417—431. — doi:10.1090/s0025-5718-97-00800-4. MR: 1377659.

Ссылки

1000000 знаков постоянной Хинчина после запятой на сайте факультета математики Барселонского университета

[1] Хинчин А. Я. Metrische Kettenbruchprobleme : [нем.] : [арх. 4 февраля 2016] // Compositio Mathematica. — 1935. — Т. 1. — С. 361—382. MR: 1556899.

[bbc-2] ¹ ² ³ Bailey, Borwein & Crandall, 1997.

[mw-3] ¹ ² ³ Weisstein, Eric W. Khinchin's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_87d4aa77332a5e40-4] Хинчин, 1960, § 16 Средние значения, с. 110—111.

[5] McLeman, Cam. The Ten Coolest Numbers (неопр.). Дата обращения: 18 января 2016. Архивировано из оригинала 11 ноября 2020 года.

[6] Александр Яковлевич Хинчин (к шестидесятилетию со дня рождения) : [арх. 7 марта 2016] // УМН. — 1955. — Т. 10, вып. 3(65). — С. 197—212.

[7] Finch, Steven R. Mathematical Constants : [арх. 3 февраля 2017]. — Cambridge University Press, 2003. — P. 60. — Errata and Addenda. — ISBN 978-0521818056.

[RyllNardzewski-8] ¹ ² Ryll-Nardzewski, Czesław. On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions) : [англ.] : [арх. 27 января 2016] // Studia Mathematica. — 1951. — Vol. 12. — P. 74—79. MR: 13:757b.

[kac-9] ¹ ² ³ Kac, Marc. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. — Math. Association of America, and John Wiley & Sons, 1959. — P. 89—94. — ISBN 978-0883850121.

[10] Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В этой статье использовано немного отличающееся от стандартного определение дзета-функции Гурвица.

[11] Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. of the American Mathematical Society. — 2008. — Vol. 136, no. 3. — P. 815—824. — doi:10.1090/S0002-9939-07-09202-7. MR: 2361853. См. последовательность A089618 в OEIS.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]