Уравнения Баргмана — Вигнера (Rjgfuyunx >gjibgug — Fniuyjg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравнения Баргмана — Вигнерарелятивистски инвариантные многокомпонентные спинорные уравнения движения свободных частиц c ненулевой массой и произвольным спином.[1]

Получили название в честь Валентина Баргмана и Юджина Вигнера.

Поль Дирак впервые опубликовал уравнение Дирака в 1928 году и позже (1936) обобщил его на частицы с любым полуцелым спином, прежде чем Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера.[2] Юджин Вигнер написал статью в 1937 году об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре.[3] Вигнер отмечает, что Этторе Майорана[4] и Дирак использовали инфинитезимальные операторы и классифицирует представления как неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 году Валентин Баргман и Вигнер опубликовали уравнения, которые теперь названы в их честь, в статье о теоретико-групповом обсуждении релятивистских волновых уравнений[5].

Формулировка уравнений

[править | править код]

Для свободной электрически нейтральной массивной частицы со спином уравнения БВ представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых имеет математическую форму, аналогичную уравнению Дирака. Система уравнений имеет вид[2][6][7] [8][9]

и следует общему правилу;

 

 

 

 

(1)

для .

Волновая функция БВ имеет компоненты

и является 4-компонентным спинорным полем ранга 2j. Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, тo есть существует компонент всего спинорного поля , хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает количество независимых компонент до . Далее, являются матрицами Дирака, и

является четырёхмерным оператором импульса.

Оператор, составляющий каждое уравнение , является матрицей размерности , потому что матрицы, и скалярно умножаются на единичную матрицу размерностью (обычно не пишется для простоты). Явно, в представлении Дирака матриц Дирака:[2]

где является вектором, каждая компонента которого является матрицей Паули, является оператором энергии, является оператором трёхмерного импульса, обозначает единичную матрицу размерностью , нули (во второй строке) обозначают блочную матрицу размерностью составленную из нулевых матриц.

Уравнения БВ обладают некоторыми свойствами уравнения Дирака:

,

В отличие от уравнения Дирака, которое может учитывать действие электромагнитного поля посредством включения слагаемого, описывающего минимальное электромагнитное взаимодействие[англ.], формализм БВ при попытке учёта электромагнитного взаимодействия содержит внутренние противоречия и трудности. Другими словами, в уравнения БВ невозможно внести изменение , где - электрический заряд частицы и - это электромагнитный потенциал.[10][11] Для исследования электромагнитных взаимодействий в этом случае применяются электромагнитные 4-токи и мультиполи частицы.[12][13]

Структура группы Лоренца

[править | править код]

Представление группы Лоренца для уравнений БВ:[10]

где обозначает неприводимое представление.

Примечания

[править | править код]
  1. В этой статье используется соглашение о суммировании Эйнштейна для тензорных/спинорных индексов и используется символ циркумфлекса для обозначения квантовых операторов.
  2. 1 2 3 E.A. Jeffery (1978). "Component Minimization of the Bargman–Wigner wavefunction". Australian Journal of Physics. 31 (2): 137. Bibcode:1978AuJPh..31..137J. doi:10.1071/ph780137.
  3. E. Wigner (1937). "On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group" (PDF). Annals of Mathematics. 40 (1): 149—204. Bibcode:1939AnMat..40..149W. doi:10.2307/1968551. JSTOR 1968551. Архивировано (PDF) 4 октября 2015. Дата обращения: 12 сентября 2022.
  4. Э. Майорана Релятивистская теория частицы с произвольным внутренним угловым моментом // Л. Мишель, М. Шааф Симметрия в квантовой физике. — М., Мир, 1974. — с. 239-247
  5. Bargmann, V.; Wigner, E. P. (1948). "Group theoretical discussion of relativistic wave equations". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 34 (5): 211—23. Bibcode:1948PNAS...34..211B. doi:10.1073/pnas.34.5.211. PMC 1079095. PMID 16578292. {{cite journal}}: line feed character в |journal= на позиции 16 (справка)
  6. R.K. Loide; I.Ots; R. Saar (2001). "Generalizations of the Dirac equation in covariant and Hamiltonian form". Journal of Physics A. 34 (10): 2031—2039. Bibcode:2001JPhA...34.2031L. doi:10.1088/0305-4470/34/10/307.
  7. H. Shi-Zhong; R. Tu-Nan; W. Ning; Z. Zhi-Peng (2002). "Wavefunctions for Particles with Arbitrary Spin". Communications in Theoretical Physics. 37 (1): 63. Bibcode:2002CoTPh..37...63H. doi:10.1088/0253-6102/37/1/63. Архивировано из оригинала 27 ноября 2012. Дата обращения: 12 сентября 2022.
  8. Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы. — Л., ЛГУ, 1983. — с. 326 - 327
  9. Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц. — М., Наука, 1972. — с. 150 - 153
  10. 1 2 T. Jaroszewicz; P.S. Kurzepa (1992). "Geometry of spacetime propagation of spinning particles". Annals of Physics. 216 (2): 226—267. Bibcode:1992AnPhy.216..226J. doi:10.1016/0003-4916(92)90176-M.
  11. C.R. Hagen (1970). "The Bargmann–Wigner method in Galilean relativity". Communications in Mathematical Physics. Vol. 18, no. 2. pp. 97—108. Bibcode:1970CMaPh..18...97H. doi:10.1007/BF01646089.
  12. Cedric Lorce (2009). "Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 1 ? Electromagnetic Current and Multipole Decomposition". arXiv:0901.4199 [hep-ph].
  13. Cedric Lorce (2009). "Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 2 ? Natural Moments and Transverse Charge Densities". Physical Review D. 79 (11): 113011. arXiv:0901.4200. Bibcode:2009PhRvD..79k3011L. doi:10.1103/PhysRevD.79.113011. S2CID 17801598.

Дальнейшее чтение

[править | править код]
  • Weinberg, S, The Quantum Theory of Fields, vol II
  • Weinberg, S, The Quantum Theory of Fields, vol III
  • R. Penrose. The Road to Reality. — Vintage books, 2007. — ISBN 978-0-679-77631-4.

Избранные статьи

[править | править код]

Внешние ссылки

[править | править код]

Релятивистские волновые уравнения:

Группы Лоренца в релятивистской квантовой физике: