Уравнение состояния Ми — Грюнайзена (Rjgfuyuny vkvmkxunx Bn — IjZugw[yug)

Уравнение состояния Ми — Грюнайзена — это уравнение, описывающее связь между давлением и удельным объёмом в среде при заданной температуре. Это уравнение в том числе используется для определения давления в процессе ударного сжатия твёрдого тела. Названо в честь немецкого физика Эдуарда Грюнайзена. Уравнение состояния Ми — Грюнайзена представляется в следующей форме:

$p-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}(e-e_{0}),$

где $p_{0}$ и $e_{0}$ — давление и внутренняя энергия в известном начальном состоянии, $V$ — объём, $p$ — полное давление, $e$ — внутренняя энергия, и $\Gamma$ — безразмерный коэффициент Грюнайзена, который определяет тепловое давление в правой части из тепловой энергии колеблющихся атомов, а $p_{0}$ — давление на известной кривой в плоскости $p-V$, например изотерм при комнатной температуре или абсолютном нуле (холодное давление).

Функция Грюнайзена — мера изменения давления при изменении энергии системы при постоянном объёме. Она определяется по соотношению:

$\Gamma =V\left({\frac {dp}{de}}\right)_{V}.$

Производная берётся при постоянном объёме.

Уравнение Ми — Грюнайзена предполагает линейную зависимость давления от внутренней энергии. Для определения функции Грюнайзена используются методы статистической физики и предположение о линейности межатомных взаимодействий.

Оно используется для решения определённых термо-механических задач: определении эффектов ударной волны, термическом расширении твёрдых тел, быстром нагревании материалов из-за поглощения ядерного излучения.

Для вывода уравнения Ми — Грюнайзена используется уравнение Ранкина-Гюгонио для сохранения массы, момента и энергии:

$\rho _{0}U_{s}=\rho (U_{s}-U_{p})~~,\quad p_{H}-p_{H0}=\rho _{0}U_{s}U_{p}~~,\quad p_{H}U_{p}=\rho _{0}U_{s}\left({\frac {U_{p}^{2}}{2}}+E_{H}-E_{H0}\right),$

где ρ₀ — относительная плотность, ρ — плотность после ударного сжатия, p_H — давление Гюгонио, E_H — удельная внутренняя энергия (на единицу массы) Гюгонио, U_s — скорость удара, и U_p — скорость частиц.

Параметры для различных материалов

Типичные различные для разных материалов величины для моделей в форме Ми — Грюнайзена.

Материал	$\rho _{0}$ (kg/m3)	$c_{0}$ (m/s)	$s$	$\Gamma _{0}$	$\alpha$	$p_{0}$	$e_{0}$ (K)
Медь	8924	3910	1.51	1.96	1	0	0
Вода	1000	1483	2.0	2.0	10−4	0	0

Параметр Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями

Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности $d$ имеет вид:

$\Gamma _{0}=-{\frac {1}{2d}}{\frac {\Pi '''(a)a^{2}+(d-1)\left[\Pi ''(a)a-\Pi '(a)\right]}{\Pi ''(a)a+(d-1)\Pi '(a)}},$

где $\Pi$ — потенциал межатомного взаимодействия, $a$ — равновесное расстояние, $d$ — размерность пространства. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннард-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице.

Решетка	Размерность	Потенциал Леннард-Джонса	Потенциал Ми	Потенциал Морзе
Цепочка	$d=1$	$10{\frac {1}{2}}$	${\frac {m+n+3}{2}}$	${\frac {3\alpha a}{2}}$
Треугольная решётка	$d=2$	$5$	${\frac {m+n+2}{4}}$	${\frac {3\alpha a-1}{4}}$
ГЦК, ОЦК	$d=3$	${\frac {19}{6}}$	${\frac {n+m+1}{6}}$	${\frac {3\alpha a-2}{6}}$
«Гиперрешётка»	$d=\infty$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$
Общая формула	$d$	${\frac {11}{d}}-{\frac {1}{2}}$	${\frac {m+n+4}{2d}}-{\frac {1}{2}}$	${\frac {3\alpha a+1}{2d}}-{\frac {1}{2}}$

Выражение для параметра Грюнайзена одномерной цепочки с взаимодействиями посредством потенциала Ми, приведенное в таблице, в точности совпадает с результатом статьи.

См. также

• Термодинамическое равновесие