Треугольная квантовая яма (Mjyrikl,ugx tfgumkfgx xbg)

Рис.1. Треугольная квантовая яма. Красным цветом показаны волновые функции для соответствующих значений энергии.

Треуго́льная ква́нтовая я́ма — одномерная потенциальная яма, ограниченная с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой, а с другой — потенциалом, линейно растущим с увеличением координаты. Один из простых профилей потенциала в квантовой механике, допускающих точное решение задачи о нахождении уровней энергии и волновых функций находящейся в яме частицы. Модель треугольной ямы используется, в частности, при исследованиях систем с двумерным электронным газом.

Модель потенциальной ямы

Одномерная треугольная потенциальная яма ограничена с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой ($U(x)\rightarrow +\infty$ при $-\infty <x\leqslant 0$), а с другой — линейно растущим наклонным потенциалом $0<U\left(x\right)=Fx<+\infty$ при $0<x<+\infty$ (см. рис.1). Такой вид потенциальной энергии $U(x)$ соответствует однородному полю, действующему на частицу с силой $-F=dU/dx$, не зависящей от координаты. Примерами таких полей являются однородное электрическое поле $U\left(x\right)=qE_{el}x\geq 0$ ($q$ — заряд частицы, $E_{el}$ — напряженность электрического поля) и гравитационное поле тяжести $U\left(x\right)=mgx$ ($m$ — масса частицы, $g$ —ускорение свободного падения).

Решение уравнения Шрёдингера

Уравнения Шрёдингера и граничные условия

Уравнение Шрёдингера для частицы в однородном поле имеет вид:

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar \;^{2}}}(E-Fx)\psi =0\,.$

Граничные условия описывают абсолютно упругое отражение от потенциальной стенки при $x=0$ и убывание решения в классически недоступной области $Fx>E$ при $x\rightarrow +\infty$:

$\psi (x=0)=0,\qquad \psi (x\rightarrow +\infty )\rightarrow 0\,.$

Здесь $m$ — масса частицы, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка, $E$ и $\psi$ — искомые энергия и волновая функция частицы.

Замена переменной

Для упрощения дальнейшего рассмотрения вводится безразмерная переменная

$\xi =\alpha \left(x-{\frac {E}{F}}\right)\,,$

где $\alpha =\left({\frac {2mF}{\hbar \;^{2}}}\right)^{1/3}$. При использовании новой переменной задача сводится к решению уравнения Эйри

$\psi ''(\xi )-\xi \psi (\xi )=0\,$

с граничными условиями

$\psi \left(-\alpha {\frac {E}{F}}\right)=0,\quad \psi (\xi \rightarrow +\infty )\rightarrow 0\,.$

Общее решение уравнения Шрёдингера

Общее решение уравнения Эйри имеет вид:

$\psi (\xi )=C\mathrm {Ai} (\xi )+D\mathrm {Bi} (\xi )\,,$

где $\mathrm {Ai}$ и $\mathrm {Bi}$ — функции Эйри 1-го и 2-го рода имеют при больших $\xi \rightarrow +\infty$ следующие асимптотики

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(\xi )&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}\xi ^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,\xi ^{1/4}}}\,,\\\mathrm {Bi} \,(\xi )&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}\xi ^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,\xi ^{1/4}}}\,.\end{aligned}}$

При отрицательных значениях $\xi$ функции Эйри осциллируют и имеют бесконечное число нулей. Из граничного условия на бесконечности $\xi \rightarrow +\infty$ и экспоненциального роста $\mathrm {Bi} (\xi \rightarrow +\infty )$ следует, что константа $D=0$ , то есть решение задачи следует искать в виде

$\psi (\xi )=C\mathrm {Ai} (\xi )\,.$

Дискретные уровни энергии

Собственные значения энергии частицы $E=E_{n}$ ($n=1,\,\,2,..$) в треугольной яме определяются из условия обращения в нуль волновой функции на границе бесконечной потенциальной стенки:

$\psi _{n}\left(\xi _{n}=-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=C_{n}\mathrm {Ai} \left(-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=0\,,$

где $\xi _{n}=-a_{n}$ — нули функции Эйри. В результате находим дискретный спектр энергий,

$E_{n}={\frac {Fa_{n}}{\alpha }}={\frac {\hbar ^{2}\alpha ^{2}a_{n}}{2m}}\,,$

а соответствующая дискретному уровню $E_{n}$волновая функция имеет вид:

${{\psi }_{n}}\left(x\right)=C_{n}\mathrm {Ai} \left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)\,.$

Для первых пяти нулей значения $a_{n}$ приближённо равны: $a_{1}=2,338$, $a_{2}=4,088$, $a_{3}=5,521$, $a_{4}=6,787$, $a_{5}=7,944$. При больших $n\gg 1$ нули функций Эйри определяются выражением:

$a_{n}\approx \left[{\frac {3\pi }{2}}\,\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]^{2/3}\,.$

Нормировка волновой функции

Значения констант $C_{n}$ находятся из условия нормировки

$\int \limits _{0}^{\infty }{dx}{{\left|\psi _{n}\left(x\right)\right|}^{2}}=1\,.$

Вычисляя интеграл от квадрата волновой функции, которая вещественна,

${\begin{aligned}&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\int \limits _{-{{a}_{n}}}^{\infty }{d\xi }\mathrm {Ai} ^{2}\left(\xi \right)=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\left[\xi \mathrm {Ai} ^{2}\left(\xi \right)-{{\left(\mathrm {Ai} '\left(\xi \right)\right)}^{2}}\right]_{\xi =-{{a}_{n}}}^{\infty }=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}{{\left(\mathrm {Ai} '\left(-{{a}_{n}}\right)\right)}^{2}}=1,\\\end{aligned}}$

находим нормировочные константы, которые зависят от номера квантового уровня:

${{C}_{n}}={\frac {{\alpha }^{1/2}}{\mathrm {Ai} '\left(-{{a}_{n}}\right)}}\,,$

где $\mathrm {Ai} '(\xi )$ — производная функции Эйри.

Функции $\psi _{n}(x)$ ортогональны. В этом можно убедиться, вычислив интеграл от произведения волновых функций, принадлежащих разным квантовым состояниям $n\neq m$:

${\begin{aligned}&{{C}_{n}}{{C}_{m}}\int \limits _{0}^{\infty }{dx}\mathrm {Ai} \left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)\mathrm {Ai} \left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)=\\&{\frac {{{C}_{n}}{{C}_{m}}}{\alpha \left({{a}_{m}}-{{a}_{n}}\right)}}\left[\mathrm {Ai} '\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)\mathrm {Ai} \left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)-\right.\\&\left.\mathrm {Ai} \left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)\mathrm {Ai} '\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)\right]_{x=0}^{\infty }=0.\\\end{aligned}}$

Ширина потенциальной ямы

Для рассматриваемой ямы волновые функции экспоненциально убывают $\mathrm {Ai} \left(\alpha x-a_{n}\right)\sim {{x}^{-1/4}}\exp \left(-2{{(\alpha x)}^{3/2}}/3\right)$ при $x\rightarrow +\infty$ и отличны от нуля при сколь угодно больших расстояниях $x$. Ширина классически доступной ($E_{n}>U(x)$) области находится из условия

$U(x_{n})=Fx_{n}=E_{n}$

и составляет

$x_{n}={\frac {a_{n}}{\alpha }}.$

Значения $x_{n}$ схематически показаны на рисунке 1.

Применение результатов

Рис. 2. Зонная диаграмма гетероперехода двух полупроводников.

Задача об энергетическом спектре магнитных поверхностных уровней электронов приближённо сводится к модели треугольной потенциальной ямы. На малых расстояниях от поверхности проводника и в слабом магнитном поле в уравнении Шрёдингера можно пренебречь слагаемыми, квадратичными по векторному потенциалу, и эффективный потенциал ямы линейно зависит от расстояния от поверхности, которая описывается бесконечной стенкой.

Модель треугольной ямы используется при исследованиях двумерного электронного газа в инверсных слоях у границ раздела диэлектрик—полупроводник и границ двух разных полупроводников. Хотя в таких системах профиль зоны проводимости в полупроводнике сложнее, чем линейный, а разрыв зоны проводимости на гетерогранице не является бесконечным (см. рис.2), непосредственно вблизи этой границы яма приближённо считается треугольной, а разрыв зоны достаточно большим.

См. также

• Квантовое движение в электрическом поле
• Прямоугольная квантовая яма
• Осцилляции Зенера — Блоха
• Квантовый осциллятор
• Магнитные поверхностные уровни

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория (рус.). — Москва: Наука, 1989. — С. 112. — 768 с. — ISBN 5-02-014421-5.
• Olivier Vallee, Manuel Soares. Airy functions and applications to physics (англ.). — London: Imperial College Press, 2004. — 194 p. — ISBN 1-86094-478-7.