Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера (Bk;nsnenjkfguudw hkmyuengl H~ol, — Myllyjg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Форма модифицированного потенциала Пёшль-Теллера

Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии элетростатического поля, предложенная физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером[1] как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе

Глубина потенциальной ямы обычно параметризуется в виде:

.

Решение уравнения Шрёдингера с потенциальной энергией в форме модифицированной ямы Пёшль — Теллера представляется при помощи функций Лежандра.

Уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера

[править | править код]

Стационарное уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:

Если ввести обозначение , то оно примет вид:

Решение через гипергеометрические функции

[править | править код]

После замены переменных

получим

Если подставить решение в виде

,

то уравнение приводится к гипергеометрическому виду

Обозначая

общее решение примет вид

В качестве фундаментальной системы решений исходного уравнения удобно выбрать чётное и нечётное решение, то есть собственные функции оператора чётности:

Чётное решение соответствует и

Нечётное решение соответствует и

Энергия связанных состояний

[править | править код]

Для удобства обозначим , тогда энергия запишется как

Параметры гипергеометрических функций примут вид

Чтобы получить нормируемые функции необходимо исключить члены асимптотик неограниченные на бесконечности, для нечётных функций это условие примет вид

,

для чётных

Объединяя эти условия, получим уровни энергии:

Коэффициенты отражения и прохождения

[править | править код]

Коэффициенты отражения и прохождения имеют вид:

где введено обозначение

При получим, что и

Таким образом, при модифицированный потенциал Пёшль — Теллера становится безотражательным.

Решение через функции Лежандра

[править | править код]

Заменой уравнение Шрёдингера может быть сведено к уравнению

Решение этого уравнения может быть представлено через функции Лежандра

где .

Примечания

[править | править код]
  1. G. Pöschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (нем.) // Zeitschrift für Physik. — 1933. — Bd. 83, Nr. 3-4. — S. 143–151. — doi:10.1007/BF01331132.

Литература

[править | править код]
  • З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.