Функция Эйри (Srutenx |wjn)

Перейти к навигации Перейти к поиску
График функций Ai(x) (красный цвет) и Bi(x) (синий цвет)

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри)[1]. Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода (которая при имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода (которая при также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функций[2]. Обозначение Ai для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри (англ. Airy)[3]. В 1946 году Джеффри Миллер[англ.] добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным[4].

В. А. Фок предложил для обозначения функций Ai и Bi символы U и V соответственно.

Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.

Определение

[править | править код]

Для действительных функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом[1]:

Контуры интегрирования при вычислении Ai(z)

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода у которой при колебания имеют ту же амплитуду, что и у но отличаются по фазе на [5]. Для действительных функция Эйри 2-го рода выражается интегралом[4]:

Для комплексных функция Эйри определяется следующим образом:

где контур представлен на рисунке[6]. Контуры и также дают решение уравнения Эйри. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.

Функция при произвольном комплексном связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением[1]:

В точке функции и и их первые производные имеют такие значения:

где  — гамма-функция[7]. Отсюда следует, что при вронскиан функций и равен .

При положительных  — положительная выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а  — положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных и колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.

Асимптотические выражения

[править | править код]

При стремящемся к [7]:

Комплексный аргумент

[править | править код]

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле

где интеграл берётся по контуру начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом . Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение для продолжения и до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение и не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для верна, если x лежит в секторе для некоторого положительного . Формулы для и верны, если x лежит в секторе .

Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции на комплексной плоскости нет других нулей, а функция имеет бесконечно много нулей в секторе .

Связь с другими специальными функциями

[править | править код]

Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:

где I±1/3 и K1/3 — решения уравнения .

Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя:

где J±1/3 — решения уравнения .

Функции Скорера являются решениями уравнения Они также могут быть выражены через функции Эйри:

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 Федорюк М. В. . Эйри функции // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. Архивировано 17 ноября 2020 года. — 1248 стб. — Стб. 939—941.
  2. Попов и Теслер, 1984, с. 381—382.
  3. Vallée O., Soares M. . Airy Functions and Applications to Physics. — London: Imperial College Press, 2004. — x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7. Архивировано 10 июня 2016 года. — P. 4.
  4. 1 2 Airy Function Ai: Introduction to the Airy functions. // The Wolfram Functions Site. Дата обращения: 12 февраля 2016. Архивировано 3 июня 2016 года.
  5. Попов и Теслер, 1984, с. 385.
  6. Ландау и Лифшиц, 1974, с. 736.
  7. 1 2 Попов и Теслер, 1984, с. 386.

Литература

[править | править код]