Совершенное поле (Vkfyjoyuuky hkly)

В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.

2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.

3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.

4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.

5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.

6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k.

В противном случае поле называется несовершенным.

Совершенные поля полезны тем, что теория Галуа над ними становится значительно проще, так как условие сепарабельности расширений поля выполняется автоматически.

Более общо, кольцо характеристики p называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса для него является автоморфизмом.^[1] (В случае целостных колец это эквивалентно условию "каждый элемент является p-й степенью).

Примеры

Все поля характеристики ноль являются совершенными, например, поле рациональных чисел.
Все конечные поля.
Все алгебраически замкнутые поля.
Алгебраические расширения совершенного поля также являются совершенными.

Большинство полей, появляющихся на практике, совершенные. Примеры несовершенных полей доставляет алгебраическая геометрия в характеристике p > 0. Например, поле рациональных функций от одной переменной над полем характеристики p является несовершенным, так как в этом поле отсутствует p-й корень из x.

Совершенное замыкание

В характеристике p > 0 можно «сделать» поле k совершенным, добавив к нему корни p^r-й степени (r≥1) из всех элементов. Получившееся поле называется совершенным замыканием k и обычно обозначается $k^{p^{-\infty }}$ .

В терминах универсального свойства, совершенное замыкание кольца $A$ характеристики $p$ — это совершенное кольцо $A_{p}$ характеристики $p$ вместе с гомоморфизмом колец $u:A\to A_{p}$ , таким что для любого совершенного кольца $B$ характеристики $p$ с гомоморфизмом $v:A\to B$ существует единственный гомоморфизм $f:A_{p}\to B$ , такой что $v=f\circ u$ . Совершенное замыкание существует для любого кольца^[2], следовательно, функтор совершенного замыкания существует и является левым сопряженным забывающего функтора из категории совершенных колец в категорию колец.

Примечания

↑ Serre, 1979, Section II.4
↑ Bourbaki, 2003, Section V.5.1.4, page 111

Литература

Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II, Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory (PDF), Дата обращения: 5 февраля 2010
Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67 (2 ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0554237
Cohn, P.M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings and Fields
Matsumura, H (2003), Commutative ring theory, Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.)

[1] Serre, 1979, Section II.4

[2] Bourbaki, 2003, Section V.5.1.4, page 111

[1]

[2]