Алгебраически замкнутое поле (GliyQjgncyvtn [gbturmky hkly)
Алгебраически замкнутое поле — поле , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень.
Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым. При этом существование алгебраического замыкания существенно зависит от аксиомы выбора: существуют модели теории множеств без аксиомы выбора, где есть поля, не обладающие алгебраическим замыканием.
Свойства
[править | править код]- В алгебраически замкнутом поле каждый многочлен степени имеет ровно (с учётом кратности) корней в . Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов имеет степень . См. также теорема Безу.
- Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен , где — количество элементов поля. Корнями данного многочлена являются все элементы поля. Если к нему прибавить , то полученный многочлен не будет иметь корней.
- Алгебраическим замыканием поля в его расширении называется поле всех алгебраических над элементов . Алгебраическое замыкание поля в алгебраически замкнутом поле является алгебраически замкнутым, и более того, его алгебраическим замыканием.
- Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
- Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
- Алгебраическим замыканием конечного поля является поле .
- Алгебраическое замыкание поля рациональных дробей называется полем алгебраических функций. Элементы такого поля функциями в обычном смысле не являются, однако такое название довольно часто встречается в литературе.
- Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.
Конструкция
[править | править код]Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.
Пусть задано поле . Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.
Определим как множество всех неприводимых многочленов над полем . Каждому многочлену поставим в соответствие переменную . Обозначим за множество всех таких переменных . Образуем кольцо многочленов . Можно показать, что идеал , порождённый всеми многочленами вида , не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу , содержающему идеал (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле . Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем .
На поле можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля и получим поле . Повторяя это раз можно получить поле . Таким образом, мы имеем башню полей:
Объединение всех этих полей даст поле . Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.[1]
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |