Символ Лежандра (Vnbfkl Ly'gu;jg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который, в свою очередь, является частным случаем символа Кронекера — Якоби, который иногда называют символом Лежандра — Якоби — Кронекера.

Определение

[править | править код]

Пусть  — целое число, и  — простое число. Символ Лежандра определяется следующим образом:

  • , если делится на
  • , если является квадратичным вычетом по модулю , но при этом не делится на
  • , если является квадратичным невычетом по модулю
  • Мультипликативность: . Очевидными свойствами мультипликативности являются также следующие:
    • если не делится на , то
    • если каноническое разложение на простые множители, то
      .
  • Если , то
    .
  • .
  • Лемма Гаусса о квадратичных вычетах.
  • Критерий Эйлера:
  • Если , то:
(частный случай критерия Эйлера);
  • Квадратичный закон взаимности: Пусть p и q — неравные нечетные простые числа, тогда
  • Если , то
.
  • При среди чисел ровно половина имеет символ Лежандра, равный 1, а другая половина — равный −1.

Литература

[править | править код]
  • Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва: ГИТТЛ, 1952. — С. 180. — ISBN 5-93972-252-0.