Лемма Гаусса о квадратичных вычетах (Lybbg Igrvvg k tfg;jgmncud] fdcymg])

Ле́мма Га́усса позволяет определять, является ли число квадратичным вычетом по модулю простого числа.

Формулировка

Возьмем простое $p$ и натуральное $a$ такое что $(a,p)=1$ . Посмотрим на остатки чисел $a,2\cdot a,3\cdot a,\dots {\frac {p-1}{2}}\cdot a$ по модулю $p$ . Пусть среди них $v$ остатков больших чем ${\frac {p}{2}}$ , тогда $\left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{v}$ (здесь использован символ Лежандра).

Доказательство

Рассмотрим произведение $a\cdot 2a\cdot 3a\cdots {\frac {p-1}{2}}\cdot a\equiv \left({\frac {p-1}{2}}\right)!\cdot a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}$ . Заменим числа $k\cdot a$ , большие чем ${\frac {p}{2}}$ по модулю $p$ , на $(-1)\cdot (p-k\cdot a)$ . Тогда слева вынесем $(-1)^{v}$ и получим произведение некоторых ${\frac {p-1}{2}}$ чисел по модулю $p$ , которые различны по модулю $p$ ( $(m\pm n)\cdot a\not \equiv 0{\pmod {p}}$ ) и дают остаток меньше ${\frac {p}{2}}$ , значит это произведение сравнимо с $\left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ . Тогда мы можем сократить наше сравнение на $\left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ и получим что $(-1)^{v}\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}$ . По критерию Эйлера $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {a}{p}}\right){\pmod {p}}$ .^[1]