Квадратичный вычет (Tfg;jgmncudw fdcym)
Целое число называется квадратичным вычетом по модулю , если разрешимо сравнение[1]:
Если указанное сравнение не разрешимо, то число называется квадратичным невычетом по модулю . Решение приведенного выше сравнения означает извлечение квадратного корня в кольце классов вычетов.
Квадратичные вычеты широко применяются в теории чисел, они также нашли практические применения в акустике[2], криптографии, теории графов (см. Граф Пэли) и в других областях деятельности.
Понятие квадратичного вычета может также рассматриваться для произвольного кольца или поля. Например, квадратичные вычеты в конечных полях.
Различия в терминологии
[править | править код]Математическая энциклопедия и ряд других источников определяют квадратичный вычет как число , для которого существует решение сравнения . В других источниках (например, Г. Хассе. Лекции по теории чисел, 1953) указано дополнительное требование, что число взаимно просто с . Часть источников вообще рассматривает только случай нечётного простого модуля[3][4]. В обоих последних случаях ноль исключается из рассмотрения.
Примеры
[править | править код]Числа и являются квадратичными вычетами по любому модулю, так как сравнения и всегда имеют решения и соответственно.
Следствие: поскольку для модуля существуют только два класса вычетов и любое число по модулю 2 является квадратичным вычетом.
По модулю 3 существуют три класса вычетов: Их квадраты попадают в классы вычетов соответственно. Отсюда видно, что числа из классов и являются квадратичными вычетами, а числа из класса (например, ) — квадратичные невычеты по модулю 3.
Теория квадратичных вычетов широко применяется, в частности, для исследования возможных целочисленных значений квадратичных форм. Рассмотрим, например, уравнение:
Из него следует, что Однако квадраты чисел дают по модулю 5 только вычеты то есть 3 является квадратичным невычетом по модулю 5. Отсюда следует, что приведенное уравнение не имеет решений в целых числах[5].
Общее квадратное сравнение вида где числа взаимно просты и не являются делителями модуля может быть исследовано следующим образом: находится решение сравнения затем исходное квадратное сравнение умножается на получая сравнение вида: Осталось определить[6], является ли квадратичным вычетом по модулю .
Свойства
[править | править код]- Критерий Эйлера: Пусть простое. Число a, взаимно простое с , является квадратичным вычетом по модулю тогда и только тогда, когда[1]:
- и является квадратичным невычетом по модулю p тогда и только тогда, когда
- Квадратичный закон взаимности
- Квадратичные вычеты, взаимно простые с модулем, образуют мультипликативную подгруппу кольца вычетов индекса 2, в частности:
- вычет × вычет = вычет;
- невычет × вычет = невычет.
- невычет × невычет = вычет.
Количество
[править | править код]По простому модулю
[править | править код]Среди ненулевых чисел , для простого модуля существует ровно квадратичных вычетов и невычетов.
Так как , то достаточно показать, что среди чисел нет сравнимых по модулю .
Пусть такие числа есть и при и .
Так как , то и, ввиду того, что - простое, и , имеем , что невозможно потому, что
Таким образом, ненулевые квадратичные вычеты образуют подгруппу индекса 2 в мультипликативной группе кольца .
По произвольному модулю
[править | править код]Вальтер Стангл в 1996 году представил формулу, позволяющую вычислить количество квадратичных вычетов по произвольному модулю .[7]
Пусть — каноническое разложение числа . Тогда для количества квадратичных вычетов по модулю верна формула
Распределение
[править | править код]Количество в интервале
[править | править код]Пусть — простое, . Обозначим через количество квадратичных вычетов по модулю среди чисел .
И. М. Виноградовым было доказано, что , где .
Из этого следует, что в произвольных интервалах достаточно большой длины (такой, что ) будет иметь место асимптотическое равенство , то есть квадратичных вычетов и невычетов асимптотически будет поровну.
Наименьший квадратичный невычет по данному модулю
[править | править код]Обозначим через минимальный положительный квадратичный невычет по простому модулю .
Из неравенства (см. раздел «количество в интервале»), напрямую следует, что , то есть .
В результате более глубоких исследований Виноградов доказал, что .
Существует выдвинутая Виноградовым гипотеза о том, что .
Если гипотеза Римана верна, то .
См. также
[править | править код]- Символ Лежандра
- См. последовательность A096008 в OEIS — список квадратичных вычетов.
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1979, с. 785—786.
- ↑ Walker, R The design and application of modular acoustic diffusing elements . BBC Research Department. Дата обращения: 25 октября 2016. Архивировано 27 марта 2016 года.
- ↑ Виноградов, 1952, Глава 5.
- ↑ MathWorld: Quadratic Residue . Архивировано 16 февраля 2017 года.
- ↑ Нестеренко, 2008, с. 83.
- ↑ Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел.. — М.: Наука, 1965. — С. 59. — 176 с.
- ↑ Stangl, Walter D. (October 1996), "Counting Squares in ℤn" (PDF), Mathematics Magazine, 69 (4): 285—289, doi:10.2307/2690536, Архивировано (PDF) 24 декабря 2015, Дата обращения: 29 июля 2015 Источник . Дата обращения: 29 июля 2015. Архивировано 24 декабря 2015 года.
Литература
[править | править код]- Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
- Квадратичный вычет // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
- Нестеренко Ю. В. Теория чисел. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — С. 132—133. — 272 с. — ISBN 9785769546464.