Разделение секрета (Jg[;ylyuny vytjymg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Secretsharing-3-point.png/200px-Secretsharing-3-point.png)
Разделение секрета (англ. secret sharing) — термин в криптографии, под которым понимают любой из способов распределения секрета среди группы участников, каждому из которых достаётся своя некая доля. Секрет может воссоздать только коалиция участников из первоначальной группы, причём входить в коалицию должно не менее некоторого изначально известного их числа.
Схемы разделения секрета применяются в случаях, когда существует значимая вероятность компрометации одного или нескольких хранителей секрета, но вероятность недобросовестного сговора значительной части участников считается пренебрежимо малой.
Существующие схемы имеют две составляющие: разделение и восстановление секрета. К разделению относится формирование частей секрета и распределение их между членами группы, что позволяет разделить ответственность за секрет между её участниками. Обратная схема должна обеспечить его восстановление при условии доступности его хранителей в некотором необходимом количестве[1].
Пример использования: протокол тайного голосования на основе разделения секрета[2].
Простейший пример схемы разделения секрета
[править | править код]Пусть имеется группа из человек и сообщение длины , состоящее из двоичных символов. Если подобрать случайным образом такие двоичные сообщения , что в сумме они будут равняться , и распределить эти сообщения между всеми членами группы, получится, что прочесть сообщение будет возможно только в случае, если все члены группы соберутся вместе[1].
В такой схеме есть существенная проблема: в случае утраты хотя бы одного из членов группы секрет будет утерян для всей группы безвозвратно.
Пороговая схема
[править | править код]В отличие от процедуры разбиения секрета, где , в процедуре разделения секрета количество долей, которые нужны для восстановления секрета, может отличаться от того, на сколько долей секрет разделён. Такая схема носит названия пороговой схемы , где — количество долей, на которые был разделён секрет, а — количество долей, которые нужны для восстановления секрета. Идеи схем были независимо предложены в 1979 году Ади Шамиром и Джорджем Блэкли. Кроме этого, подобные процедуры исследовались Гусом Симмонсом[3][4][5].
Если коалиция участников такова, что они имеют достаточное количество долей для восстановления секрета, то коалиция называется разрешённой. Схемы разделения секрета, в которых разрешённые коалиции участников могут однозначно восстановить секрет, а неразрешённые не получают никакой апостериорной информации о возможном значении секрета, называются совершенными[6].
Схема Шамира
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/3_polynomials_of_degree_2_through_2_points.svg/220px-3_polynomials_of_degree_2_through_2_points.svg.png)
Идея схемы заключается в том, что двух точек достаточно для задания прямой, трех точек — для задания параболы, четырёх точек — для кубической параболы, и так далее. Чтобы задать многочлен степени , требуется точек.
Для того, чтобы после разделения секрет могли восстановить только участников, его «прячут» в формулу многочлена степени над конечным полем . Для однозначного восстановления этого многочлена необходимо знать его значения в точках, причем, используя меньшее число точек, однозначно восстановить исходный многочлен не получится. Количество же различных точек многочлена не ограничено (на практике оно ограничивается размером числового поля , в котором ведутся расчёты).
Кратко данный алгоритм можно описать следующим образом. Пусть дано конечное поле . Зафиксируем различных ненулевых несекретных элементов данного поля. Каждый из этих элементов приписывается определённому члену группы. Далее выбирается произвольный набор из элементов поля , из которых составляется многочлен над полем степени . После получения многочлена вычисляем его значение в несекретных точках и сообщаем полученные результаты соответствующим членам группы[1].
Чтобы восстановить секрет, можно воспользоваться интерполяционной формулой, например формулой Лагранжа.
Важным достоинством схемы Шамира является то, что она легко масштабируема[5]. Чтобы увеличить число пользователей в группе, необходимо лишь добавить соответствующее число несекретных элементов к уже существующим, при этом должно выполняться условие при . В то же время, компрометация одной части секрета переводит схему из -пороговой в -пороговую.
Схема Блэкли
[править | править код]Две непараллельные прямые на плоскости пересекаются в одной точке. Любые две некомпланарные плоскости пересекаются по одной прямой, а три некомпланарные плоскости в пространстве пересекаются тоже в одной точке. Вообще n n-мерных гиперплоскостей всегда пересекаются в одной точке. Одна из координат этой точки будет секретом. Если закодировать секрет как несколько координат точки, то уже по одной доле секрета (одной гиперплоскости) можно будет получить какую-то информацию о секрете, то есть о взаимозависимости координат точки пересечения.
![]() |
![]() |
![]() |
Схема Блэкли в трёх измерениях: каждая доля секрета — это плоскость, а секрет — это одна из координат точки пересечения плоскостей. Двух плоскостей недостаточно для определения точки пересечения. |
С помощью схемы Блэкли[4] можно создать (t, n)-схему разделения секрета для любых t и n: для этого надо использовать размерность пространства, равную t, и каждому из n игроков дать одну гиперплоскость, проходящую через секретную точку. Тогда любые t из n гиперплоскостей будут однозначно пересекаться в секретной точке.
Схема Блэкли менее эффективна, чем схема Шамира: в схеме Шамира каждая доля такого же размера, как и секрет, а в схеме Блэкли каждая доля в t раз больше. Существуют улучшения схемы Блэкли, позволяющие повысить её эффективность.
Схемы, основанные на китайской теореме об остатках
[править | править код]В 1983 году Морис Миньотт[англ.], Асмут и Блум предложили две схемы разделения секрета, основанные на китайской теореме об остатках. Для некоторого числа (в схеме Миньотта это сам секрет, в схеме Асмута — Блума — некоторое производное число) вычисляются остатки от деления на последовательность чисел, которые раздаются сторонам. Благодаря ограничениям на последовательность чисел, восстановить секрет может только определённое число сторон[7][8].
Пусть количество пользователей в группе равно . В схеме Миньотта выбирается некоторое множество попарно взаимно простых чисел таких, что произведение наибольших чисел меньше, чем произведение наименьших из этих чисел. Пусть эти произведения равны и , соответственно. Число называется порогом для конструируемой схемы по множеству . В качестве секрета выбирается число такое, для которого выполняется соотношение . Части секрета распределяются между участниками группы следующим образом: каждому участнику выдается пара чисел , где .
Чтобы восстановить секрет, необходимо объединить фрагментов. В этом случае получим систему сравнений вида , множество решений которой можно найти, используя китайскую теорему об остатках. Секретное число принадлежит этому множеству и удовлетворяет условию . Также несложно показать, что если число фрагментов меньше , то, чтобы найти секрет , необходимо перебрать порядка целых чисел. При правильном выборе чисел такой перебор практически невозможно реализовать. К примеру, если разрядность будет от 129 до 130 бит, а , то соотношение будет иметь порядок [9].
Схема Асмута — Блума является доработанной схемой Миньотта. В отличие от схемы Миньотта, её можно построить в таком виде, чтобы она была совершенной[10].
Схемы, основанные на решении систем уравнений
[править | править код]В 1983 году Карнин, Грин и Хеллман предложили свою схему разделения секрета, которая основывалась на невозможности решить систему с неизвестными, имея менее уравнений[11].
В рамках данной схемы выбираются -мерных векторов так, чтобы любая матрица размером , составленная из этих векторов, имела ранг . Пусть вектор имеет размерность .
Секретом в схеме является матричное произведение . Долями секрета являются произведения .
Имея любые долей, можно составить систему линейных уравнений размерности , неизвестными в которой являются коэффициенты . Решив данную систему, можно найти , а имея , можно найти секрет. При этом система уравнений не имеет решения в случае, если долей меньше, чем [12].
Способы обмана пороговой схемы
[править | править код]Существуют несколько способов нарушить протокол работы пороговой схемы:
- владелец одной из долей может помешать восстановлению общего секрета, отдав в нужный момент неверную (случайную) долю[13].
- злоумышленник, не имея доли, может присутствовать при восстановлении секрета. Дождавшись оглашения нужного числа долей, он быстро восстанавливает секрет самостоятельно и генерирует ещё одну долю, после чего предъявляет её остальным участникам. В результате он получает доступ к секрету и остаётся непойманным[14].
Также существуют другие возможности нарушения работы, не связанные с особенностями реализации схемы:
- злоумышленник может сымитировать ситуацию, при которой необходимо раскрытие секрета, тем самым выведав доли участников[14].
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 Алферов, Зубов, Кузьмин и др., 2002, с. 401.
- ↑ Schoenmakers, 1999.
- ↑ C. J. Simmons. An introduction to shared secret and/or shared control schemes and their application (англ.) // Contemporary Cryptology. — IEEE Press, 1991. — P. 441—497.
- ↑ 1 2 Blakley, 1979.
- ↑ 1 2 Shamir, 1979.
- ↑ Блэкли, Кабатянский, 1997.
- ↑ Mignotte, 1982.
- ↑ Asmuth, Bloom, 1983.
- ↑ Молдовян, Молдовян, 2005, с. 225.
- ↑ Шенец, 2011.
- ↑ Karnin, Greene, Hellman, 1983.
- ↑ Шнайер Б. Прикладная криптография. — 2-е изд. — Триумф, 2002. — С. 590. — 816 с. — ISBN 5-89392-055-4.
- ↑ Pasailă, Alexa, Iftene, 2010.
- ↑ 1 2 Шнайер, 2002, с. 69.
Литература
[править | править код]- Шнайер Б. 3.7. Разделение секрета // Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C. — М.: Триумф, 2002. — С. 93—96. — 816 с. — 3000 экз. — ISBN 5-89392-055-4.
- Шнайер Б. 23.2 Алгоритмы разделения секрета // Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C. — М.: Триумф, 2002. — С. 588—591. — 816 с. — 3000 экз. — ISBN 5-89392-055-4.
- Blakley G. R. Safeguarding cryptographic keys (англ.) // Proceedings of the 1979 AFIPS National Computer Conference — Montvale: AFIPS Press, 1979. — P. 313—317. — doi:10.1109/AFIPS.1979.98
- Shamir A. How to share a secret (англ.) // Communications of the ACM — New York City: Association for Computing Machinery, 1979. — Vol. 22, Iss. 11. — P. 612—613. — ISSN 0001-0782 — doi:10.1145/359168.359176
- Mignotte M. How to Share a Secret (англ.) // Cryptography: Proceedings of the Workshop on Cryptography Burg Feuerstein, Germany, March 29–April 2, 1982 / T. Beth — Berlin, Heidelberg, New York City, London: Springer Berlin Heidelberg, 1983. — P. 371—375. — (Lecture Notes in Computer Science; Vol. 149) — ISBN 978-3-540-11993-7 — ISSN 0302-9743; 1611-3349 — doi:10.1007/3-540-39466-4_27
- Asmuth C., Bloom J. A modular approach to key safeguarding (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory / F. Kschischang — IEEE, 1983. — Vol. 29, Iss. 2. — P. 208—210. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1983.1056651
- Karnin E. D., Greene J. W., Hellman M. E. On Secret Sharing Systems (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory / F. Kschischang — IEEE, 1983. — Vol. 29, Iss. 1. — P. 35—41. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1983.1056621
- Блэкли Д., Кабатянский Г. А. Обобщенные идеальные схемы, разделяющие секрет, и матроиды // Теория информации и теория кодирования — 1997. — Т. 33, вып. 3. — С. 102—110.
- Schoenmakers B. A Simple Publicly Verifiable Secret Sharing Scheme and Its Application to Electronic Voting (англ.) // Advances in Cryptology — CRYPTO’ 99: 19th Annual International Cryptology Conference Santa Barbara, California, USA, August 15–19, 1999 Proceedings / M. Wiener — Springer Berlin Heidelberg, 1999. — P. 148—164. — ISBN 978-3-540-66347-8 — doi:10.1007/3-540-48405-1_10
- Алферов А. П., Зубов А. Ю., Кузьмин А. С., Черемушкин А. В. Основы криптографии: Учебное пособие — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Гелиос АРВ, 2002. — ISBN 978-5-85438-137-6
- Молдовян Н. А., Молдовян А. А. Введение в криптосистемы с открытым ключом — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 288 с. — (учебное пособие) — ISBN 978-5-94157-563-3
- Pasailă D., Alexa V., Iftene S. Cheating Detection and Cheater Identification in CRT-based Secret Sharing Schemes (англ.) // International Journal of Computing — 2010. — Vol. 9, Iss. 2. — P. 107—117. — ISSN 2312-5381; 1727-6209
- Шенец Н. Н. Об идеальных модулярных схемах разделения секрета в кольцах многочленов от нескольких переменных // Международный конгресс по информатике: информационные системы и технологии: материалы международного научного конгресса 31 окт. — Минск: БГУ, 2011. — Т. 1. Статьи факультета прикладной математики и информатики. — С. 169—173. — ISBN 978-985-518-563-6