Пример Данжуа (Hjnbyj :gu'rg)

В теории динамических систем, пример Данжуа — пример $C^{1}$ -диффеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения, имеющего канторово инвариантное множество (и, соответственно, не сопряжённого чистому повороту). М. Эрманом были затем построены примеры такого диффеоморфизма в классе гладкости $C^{1+\varepsilon }$ (то есть, $C^{1}$ с гёльдеровой производной с показателем $\varepsilon$ ) для любого $\varepsilon <1$ . Эта гладкость не может быть далее увеличена: для диффеоморфизмов с липшицевой производной (и даже с производной, логарифм которой имеет ограниченную вариацию) имеет место теорема Данжуа, утверждающая, что такой диффеоморфизм с иррациональным числом вращения сопряжён иррациональному повороту (на соответствующее число вращения).

Конструкция

Пример гомеоморфизма

Проще всего предъявляется пример гомеоморфизма окружности, число вращения которого иррационально, но который, тем не менее, не минимален. А именно, рассмотрим поворот $R$ на некоторый иррациональный угол $\alpha$ , и выберем произвольную начальную точку $x_{0}$ . Рассмотрим её орбиту $x_{n}=R^{n}(x_{0})$ (при всех целых $n$ , как положительных, так и отрицательных). Произведём следующую перестройку: в каждой точке $x_{n}$ разрежем окружность и вклеим интервал $I_{n}$ некоторой длины $l_{n}>0$ , так, чтобы сумма длин вклеенных интервалов сходилась:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }l_{n}<\infty .

Тогда получившееся после такой вклейки множество по-прежнему будет окружностью, более того, на ней будет естественная мера Лебега (состоящая из меры Лебега на разрезанной старой окружности и меры Лебега на вклеенных интервалах), то есть длина — и, тем самым, гладкая структура. Произвольным образом продолжив отображение $R$ со старой окружности так, чтобы оно переводило интервал $I_{n}$ в интервал $I_{n+1}$ , — например, выбрав в качестве продолжения аффинное отображение из $I_{n}$ в $I_{n+1}$ , — мы получаем гомеоморфизм f новой окружности с тем же числом вращения $\alpha$ . Однако, у этого гомеоморфизма есть канторово инвариантное множество $K$ (замыкание множества точек старой окружности), и потому он не может быть сопряжён иррациональному повороту.

Выбрав последовательность длин $l_{n}$ так, чтобы последовательность отношений $l_{n}/l_{n+1}$ оставалась ограниченной при $n\to \pm \infty$ , для конструкции с аффинным продолжением можно добиться липшицевости построенного гомеоморфизма. Однако, чтобы построенное отображение было диффеоморфизмом, выбор продолжения на отрезки $I_{n}$ следует сделать более тонко.

Пример в классе $C^{1}$

Пример в классе $C^{1}$ строится так, чтобы производная построенного диффеоморфизма $f$ на канторовом множестве $K$ — замыкании множества точек исходной окружности — равнялась бы 1 (поскольку мера Лебега на этом множестве сохраняется построенным диффеоморфизмом, это необходимое условие при такой конструкции). Поэтому, необходимо выбирать переставляющие интервалы $I_{n}$ ограничения $\varphi _{n}=f|_{I_{n}}:I_{n}\to I_{n+1}$ так, чтобы выполнялись следующие условия:

(D1) Производная $\varphi _{n}$ в концах интервала $I_{n}$ равна 1.
(D2) При $n\to \pm \infty$ , производные отображений $\varphi _{n}$ равномерно стремятся к 1.

Последнее условие необходимо, так как с ростом $n$ интервалы $I_{n}$ накапливаются к канторовому множеству $K$ . Более того, несложно видеть, что эти условия и достаточны для того, чтобы построенное отображение $f$ было бы $C^{1}$ -диффеоморфизмом.

В силу теоремы Лагранжа, на отрезке $I_{n}$ найдётся точка, производная в которой будет равна $l_{n+1}/l_{n}$ . Второе условие поэтому требует, чтобы для последовательности $l_{n}$ имело место

\lim _{n\to \pm \infty }l_{n}/l_{n+1}=1.\qquad (*)

Как оказывается, это условие на длины для построения $C^{1}$ -диффеоморфизма является и достаточным. А именно, отображения $\varphi _{n}$ выбираются следующим образом: на отрезках $I_{n}$ и $I_{n+1}$ вводятся координаты, отождествляющие их с отрезками $[-l_{n}/2,l_{n}/2]$ и $[-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]$ соответственно, и отображение $\varphi _{n}$ выбирается как

\varphi _{n}=F_{l_{n+1}}^{-1}\circ F_{l_{n}},\qquad (**)

где

F_{l}:[-l/2,l/2]\to \mathbb {R} ,\quad F_{l}(x)=l\tan {\frac {\pi x}{l}}.\qquad (***)

Несложная выкладка показывает тогда, что производная $\varphi _{n}$ в любой точке отклоняется от 1 в не больше, чем $\mathrm {const} \cdot |1-{\frac {l_{n}}{l_{n+1}}}|$ , поэтому условия (*) достаточно для выполнения второго необходимого условия D2. С другой стороны, столь же несложно видеть, что условие D1 также выполнено (именно для этого тангенс в формуле (***) и умножался на l: тогда скорость ухода на бесконечность на концах это $1/x$ , и не зависит от длины интервала l — поэтому композиционное частное касается тождественного отображения).

Выбор любой удовлетворяющей (*) последовательности $l_{n}$ со сходящейся суммой — например, $l_{n}=1/(1+n^{2}),$ — и завершает построение.

Пример в классе $C^{1+\epsilon }$

Пример в классе $C^{1+\varepsilon }$ предъявляется уже описанной выше конструкцией, но с более тонкими условиями на длины $l_{n}$ . А именно, как несложно видеть, построенный диффеоморфизм будет иметь гёльдерову производную тогда и только тогда, когда производные всех ограничений $\varphi _{n}$ равномерно по $n$ гёльдеровы. Действительно, сравнивая производные в точках из разных отрезков, можно подразбить эту разность производными в промежуточных концевых точках (поскольку производная в концевой точке всегда равна 1), и воспользоваться неравенством треугольника (в худшем случае, удвоив константу Гёльдера).

Поскольку на отрезке $I_{n}$ есть точка с производной $l_{n+1}/l_{n}$ (по теорема Лагранжа) и есть точка, производная в которой равна 1 (это концевая точка), константа Гёльдера для показателя Гёльдера $\varepsilon$ не может быть меньше, чем

(|1-{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}})/l_{n}^{\varepsilon }={\frac {|l_{n+1}-l_{n}|}{l_{n}^{1+\varepsilon }}}.\qquad (L)

Поэтому выражение (L) должно быть ограничено при $n\to \pm \infty$ . Как оказывается, это условие ограниченности и достаточно — явная выкладка показывает, что точная константа Гёльдера ограничения $\varphi _{n}$ отличается от оценки снизу (L) не более, чем в константу раз. Для завершения конструкции остаётся предъявить двусторонне-бесконечную последовательность $l_{n}$ со сходящейся суммой, для которой выражение (L) остаётся ограниченным. Примером такой последовательности является

l_{n}={\frac {1}{m\ln ^{2}m}},\quad m=2+|n|,

подходящая одновременно для всех $\varepsilon <1$ .

Предъявляение такой последовательности и завершает конструкцию — построенный диффеоморфизм принадлежит классу $C^{1+\varepsilon }$ с любым $\varepsilon <1$ .

См. также

Ссылки

Записки Дж. Милнора Introductory Dynamics Lectures, лекция "Теорема Данжуа" (см. §15B).

Литература

А.Б.Каток, Б.Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А.С.Городецкого. М.: МЦНМО, 2005. ISBN 5-94057-063-1
M.Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 49 (1979), p. 5-233.