Признак Сапогова (Hjn[ugt Vghkikfg)

Признак Сапогова — признак сходимости числового ряда, предложенный Николаем Александровичем Сапоговым.

Формулировка

Пусть $(b_{n})$ есть монотонно возрастающая последовательность положительных чисел, тогда ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\right)$,

равно как и ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}-1\right)$

сходится, если последовательность ограничена $(b_{n})$ и расходится, если $(b_{n})$ — не ограничена.

Доказательство

Рассмотрим следующее бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\gamma _{n}}$ с общим членом $\gamma _{n}={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\geqslant 1$.

С одной стороны, частичное произведение равняется $\prod _{n=1}^{m}{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}={\frac {1}{b_{1}}}\cdot b_{m+1}$, так что по определению данное бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится (т. е. ограничена) последовательность $(b_{n})$.

С другой стороны, для сходимости этого бесконечного произведения необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right)\right)$ с неотрицательным членом $\delta _{n}=\ln \left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right)\geqslant 0$.

При этом

$\delta _{n}=\ln \left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}-1\right)\sim \left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}-1\right)=\left({\frac {b_{n+1}-b_{n}}{b_{n}}}\right)\sim \left({\frac {b_{n+1}-b_{n}}{b_{n+1}}}\right)=\left(1-{\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\right)$

и в соответствии с признаком сравнения в предельной форме ряды $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\right)$, $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}-1\right)$, бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ и числовая последовательность $(b_{n})$ все вместе либо сходятся, либо расходятся.

Литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 1974. — Т. 2. — С. 291.
• A.D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — ISBN 978-1420010510.