Признак Куммера (Hjn[ugt Trbbyjg)

Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером.

Формулировка

Пусть дан ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,(a_{n}\geqslant 0)$ и произвольная числовая последовательность $\{c_{n}\}\,(c_{n}\geqslant 0)$, такая что ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ расходится. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится, если для всех $n>N$ выполняется неравенство: $K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta$, где $\delta >0$. Если же $K_{n}\leqslant 0$ для $n>N$, то ряд расходится.

Доказательство

Дан ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

1. Доказательство сходимости. Пусть для всех $n$ выполняется неравенство:

$K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta >0$.

Домножив обе части этого неравенства на $a_{n+1}$, получим:

$c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}\geqslant \delta \cdot a_{n+1}$,

(*)

а поскольку $\delta >0$, то:

$c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}>0$,

$c_{n}\cdot a_{n}>c_{n+1}\cdot a_{n+1}$.

Отсюда следует, что последовательность $c_{n}\cdot a_{n}$ монотонно убывает и,следовательно, стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулём). Соответственно, сходится и последовательность $(c_{1}\cdot a_{1}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}$), которая является суммой $n$ первых членов ряда

$\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1})$,

который в силу этого также сходится. Но тогда из неравенства (*), по первой теореме сравнения, следует, что сходится ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}$. Тогда, поскольку $a_{n}\leqslant \delta a_{n+1}$, должен сходиться и данный ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Примечание. При доказательстве сходимости не используется условие, что ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ расходится.

2. Доказательство расходимости. Пусть теперь для некоторого $n>N$ выполняется неравенство:

$K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\leqslant 0$

или

$c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\leqslant c_{n+1}$.

Разделив обе части этого неравенства на $c_{n+1}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$ получим:

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geqslant {\frac {\frac {1}{c_{n+1}}}{\frac {1}{c_{n}}}}$.

Так как по условиям теоремы ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ предполагается расходящимся, то в силу теоремы сравнения, должен расходиться и данный ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$. ■

Формулировка в предельной форме

Если существует предел: $K=\lim _{n\to \infty }K_{n}$ то при $K>0$ ряд сходится, а при $K<0$ — расходится.

Важные частные случаи

Некоторые другие признаки сходимости рядов являются частными случаями признака Куммера с конкретными видами последовательности $c_{n}$:

• При $c_{n}=1$ — признак Даламбера;
• При $c_{n}=n$ — признак Раабе;
• При $c_{n}=n\,\mathrm {ln} \,n$ — признак Бертрана.

Литература

• Куммера признак — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Kummer's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.