f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
f
{\displaystyle f}
Образ функции — это множество всех значений данной функции.
В более общем виде, вычисление значения заданной функции
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
области определения функции даёт множество, называемое «образом
A
{\displaystyle A}
f
{\displaystyle f}
обратный образ (или прообраз ) заданного подмножества
B
{\displaystyle B}
кодомена функции
f
{\displaystyle f}
B
{\displaystyle B}
Образ и обратный образ могут также быть определены для общих бинарных отношений , а не только функций.
Термин «образ» используется тремя связанными способами. В этих определениях
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
функция из множества
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Если
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[ 1]
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
Образ подмножества
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
f
{\displaystyle f}
f
[
A
]
{\displaystyle f[A]}
Y
{\displaystyle Y}
формы записи [ 2]
f
[
A
]
=
{
f
(
x
)
∣
x
∈
A
}
{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}
Если нет риска путаницы,
f
[
A
]
{\displaystyle f[A]}
f
(
A
)
{\displaystyle f(A)}
f
[
.
]
{\displaystyle f[.]}
областью определения которой является степень множества
X
{\displaystyle X}
подмножеств множества
X
{\displaystyle X}
кодоменом является степень множества
Y
{\displaystyle Y}
§ Обозначения .
Образ функции — это образ всей области определения , известный также как область значений функции[ 3]
Если
R
{\displaystyle R}
бинарным отношением на прямом произведении
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
{
y
∈
Y
‖
x
R
y
,
x
∈
X
}
{\displaystyle \{y\in Y\|xRy,x\in X\}}
R
{\displaystyle R}
{
x
∈
X
|
x
R
y
,
y
∈
Y
}
{\displaystyle \{x\in X|xRy,y\in Y\}}
R
{\displaystyle R}
Пусть
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Прообраз , или обратный образ , множества
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
f
{\displaystyle f}
f
−
1
[
B
]
{\displaystyle f^{-1}[B]}
X
{\displaystyle X}
f
−
1
[
B
]
=
{
x
∈
X
|
f
(
x
)
∈
B
}
.
{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}
Возможны и другие обозначения, как например
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
[ 4]
f
−
(
B
)
{\displaystyle f^{-}(B)}
[ 5]
Обратный образ синглетона , обозначаемый
f
−
1
[
{
y
}
]
{\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}
f
−
1
[
y
]
{\displaystyle f^{-1}[y]}
слоем для
y
{\displaystyle y}
множеством уровня элемента
y
{\displaystyle y}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
Например, для функции
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
{
4
}
{\displaystyle \{4\}}
{
−
2
,
2
}
{\displaystyle \{-2,2\}}
f
−
1
[
B
]
{\displaystyle f^{-1}[B]}
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
множества всех подмножеств (булеана) множества
Y
{\displaystyle Y}
булеан множества
X
{\displaystyle X}
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
обратной функцией , хотя оно и согласуется с обычной обратной функцией для биекций в том, что обратный образ
B
{\displaystyle B}
f
{\displaystyle f}
B
{\displaystyle B}
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
Традиционные обозначения, использованные в предыдущих разделах, могут вызвать сложности в понимании. Альтернативой[ 6] булеанами .
f
→
:
P
(
X
)
→
P
(
Y
)
{\displaystyle f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}
f
→
(
A
)
=
{
f
(
a
)
|
a
∈
A
}
{\displaystyle f^{\to }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}
f
←
:
P
(
Y
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}
f
←
(
B
)
=
{
a
∈
X
|
f
(
a
)
∈
B
}
{\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}
f
⋆
:
P
(
X
)
→
P
(
Y
)
{\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}
f
→
{\displaystyle f^{\to }}
f
⋆
:
P
(
Y
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}
f
←
{\displaystyle f^{\leftarrow }}
Альтернативным обозначением для
f
[
A
]
{\displaystyle f[A]}
математической логике и теории множеств , является
f
′
′
A
{\displaystyle f^{\prime \prime }A}
[ 7] [ 8]
Некоторые книги называют образ
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
кодомена функции
f
{\displaystyle f}
f
:
{
1
,
2
,
3
}
→
{
a
,
b
,
c
,
d
}
{\displaystyle f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}
f
(
x
)
=
{
a
,
x
=
1
;
a
,
x
=
2
;
c
,
x
=
3.
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&x=1;\\a,&x=2;\\c,&x=3.\end{matrix}}\right.}
Образом множества {2, 3} для функции
f
{\displaystyle f}
f
(
{
2
,
3
}
)
=
{
a
,
c
}
{\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}}
Образ функции
f
{\displaystyle f}
{
a
,
c
}
{\displaystyle \{a,c\}}
Прообразом
a
{\displaystyle a}
f
−
1
(
{
a
}
)
=
{
1
,
2
}
{\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}}
Прообразом множества
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{a,b\}}
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
{
b
,
d
}
{\displaystyle \{b,d\}}
пустое множество
{
}
{\displaystyle \{\}}
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} }
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
Образ
{
−
2
,
3
}
{\displaystyle \{-2,3\}}
f
{\displaystyle f}
f
(
{
−
2
,
3
}
)
=
{
4
,
9
}
{\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\}}
f
{\displaystyle f}
R
+
{\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}
Прообраз
{
4
,
9
}
{\displaystyle \{4,9\}}
f
{\displaystyle f}
f
−
1
(
{
4
,
9
}
)
=
{
−
3
,
−
2
,
2
,
3
}
{\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}}
N
=
{
n
∈
R
‖
n
<
0
}
{\displaystyle N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\}}
f
{\displaystyle f}
f
:
R
2
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} }
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}
Слои
f
−
1
(
{
a
}
)
{\displaystyle f^{-1}(\{a\})}
концентрическими окружностями с центром в начале координат , единственной точкой начала координат или пустым множеством в зависимости от значений
a
{\displaystyle a}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
Если
M
{\displaystyle M}
многообразие , а
π
:
T
M
→
M
{\displaystyle \pi :TM\to M}
проекция из касательного расслоения
T
M
{\displaystyle TM}
M
{\displaystyle M}
слоями отображения
π
{\displaystyle \pi }
касательные пространства
T
x
(
M
)
{\displaystyle T_{x}(M)}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
расслоённого пространства .
Факторгруппа — это гомоморфный образ.
Контрпримеры на основе
f
:
R
→
R
,
x
↦
x
2
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}
f
(
A
1
∩
A
2
)
⊊
f
(
A
1
)
∩
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\varsubsetneq f(A_{1})\cap f(A_{2})}
f
(
f
−
1
(
B
3
)
)
⊆
B
3
{\displaystyle f(f^{-1}(B_{3}))\subseteq B_{3}}
f
−
1
(
f
(
A
4
)
)
⊇
A
4
{\displaystyle f^{-1}(f(A_{4}))\supseteq A_{4}}
Для любой функции
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
Образ
Прообраз
f
(
X
)
⊆
Y
{\displaystyle f(X)\subseteq Y}
f
−
1
(
Y
)
=
X
{\displaystyle f^{-1}(Y)=X}
f
(
f
−
1
(
Y
)
)
=
f
(
X
)
{\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)}
f
−
1
(
f
(
X
)
)
=
X
{\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}
f
(
f
−
1
(
B
)
)
⊆
B
{\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}
B
⊆
f
(
X
)
{\displaystyle B\subseteq f(X)}
f
{\displaystyle f}
[ 9] [ 10]
f
−
1
(
f
(
A
)
)
⊇
A
{\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}
f
{\displaystyle f}
[ 11] [ 10]
f
(
f
−
1
(
B
)
)
=
B
∩
f
(
X
)
{\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}
(
f
|
A
)
−
1
(
B
)
=
A
∩
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}
f
(
f
−
1
(
f
(
A
)
)
)
=
f
(
A
)
{\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}
f
−
1
(
f
(
f
−
1
(
B
)
)
)
=
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}
f
(
A
)
=
∅
⇔
A
=
∅
{\displaystyle f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing }
f
−
1
(
B
)
=
∅
⇔
B
⊆
Y
∖
f
(
X
)
{\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)}
f
(
A
)
⊇
B
⇔
∃
C
⊆
A
:
f
(
C
)
=
B
{\displaystyle f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B}
f
−
1
(
B
)
⊇
A
⇔
f
(
A
)
⊆
B
{\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B}
f
(
A
)
⊇
f
(
X
∖
A
)
⇔
f
(
A
)
=
f
(
X
)
{\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)}
f
−
1
(
B
)
⊇
f
−
1
(
Y
∖
B
)
⇔
f
−
1
(
B
)
=
X
{\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X}
f
(
X
∖
A
)
⊇
f
(
X
)
∖
f
(
A
)
{\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}
f
−
1
(
Y
∖
B
)
=
X
∖
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}
[ 9]
f
(
A
∪
f
−
1
(
B
)
)
⊆
f
(
A
)
∪
B
{\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B}
[ 12]
f
−
1
(
f
(
A
)
∪
B
)
⊇
A
∪
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}
[ 12]
f
(
A
∩
f
−
1
(
B
)
)
=
f
(
A
)
∩
B
{\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B}
[ 12]
f
−
1
(
f
(
A
)
∩
B
)
⊇
A
∩
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}
[ 12]
Также:
f
(
A
)
∩
B
=
∅
⇔
A
∩
f
−
1
(
B
)
=
∅
{\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }
Для функций
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g\colon Y\to Z}
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
C
⊆
Z
{\displaystyle C\subseteq Z}
(
g
∘
f
)
(
A
)
=
g
(
f
(
A
)
)
{\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}
(
g
∘
f
)
−
1
(
C
)
=
f
−
1
(
g
−
1
(
C
)
)
{\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}
Для функции
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
A
1
,
A
2
⊆
X
{\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}
B
1
,
B
2
⊆
Y
{\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y}
Образ
Прообраз
A
1
⊆
A
2
⇒
f
(
A
1
)
⊆
f
(
A
2
)
{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}
B
1
⊆
B
2
⇒
f
−
1
(
B
1
)
⊆
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}
f
(
A
1
∪
A
2
)
=
f
(
A
1
)
∪
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}
[ 12] [ 13]
f
−
1
(
B
1
∪
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∪
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}
f
(
A
1
∩
A
2
)
⊆
f
(
A
1
)
∩
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}
[ 12] [ 13]
f
{\displaystyle f}
[ 14]
f
−
1
(
B
1
∩
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∩
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}
f
(
A
1
∖
A
2
)
⊇
f
(
A
1
)
∖
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})}
[ 12]
f
{\displaystyle f}
[ 14]
f
−
1
(
B
1
∖
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∖
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}
[ 12]
f
(
A
1
△
A
2
)
⊇
f
(
A
1
)
△
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}
f
{\displaystyle f}
f
−
1
(
B
1
△
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
△
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}
Результаты для образов и прообразов (булевой ) алгебры пересечений и объединений работает для любой коллекции подмножеств, не только для пар подмножеств:
f
(
⋃
s
∈
S
A
s
)
=
⋃
s
∈
S
f
(
A
s
)
{\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}
f
(
⋂
s
∈
S
A
s
)
⊆
⋂
s
∈
S
f
(
A
s
)
{\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}
f
−
1
(
⋃
s
∈
S
B
s
)
=
⋃
s
∈
S
f
−
1
(
B
s
)
{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}
f
−
1
(
⋂
s
∈
S
B
s
)
=
⋂
s
∈
S
f
−
1
(
B
s
)
{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}
(Здесь
S
{\displaystyle S}
несчётным .)
Что касается описанной выше алгебры подмножеств, обратная отображающая функция — это гомоморфизм решётки , в то время как отображающая функция — это лишь гомоморфизм полурешёток (т. е. она не всегда сохраняет пересечения).
↑ Compendium of Mathematical Symbols (амер. англ.) . Math Vault (1 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 6 декабря 2020 года.↑ 5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets (англ.) . Mathematics LibreTexts (5 ноября 2019). Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 27 октября 2020 года.↑ Weisstein, Eric W. Image (англ.) . mathworld.wolfram.com . Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 19 марта 2020 года.↑ Comprehensive List of Algebra Symbols (амер. англ.) . Math Vault (25 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 1 апреля 2020 года.↑ Dolecki, Mynard, 2016 , с. 4-5.↑ Blyth, 2005 , p. 5.↑ Rubin, 1967 .↑ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU Архивная копия от 7 февраля 2018 на Wayback Machine , December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2
↑ 1 2 Halmos, 1960 , с. 39.↑ 1 2 Munkres, 2000 , с. 19.↑ Halmos, 1960 , с. 31.↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Lee, 2011 , с. 388.↑ 1 2 Kelley, 1985 , p. 85 ↑ 1 2 Munkres, 2000 , с. 21.
John M. Lee. Introduction to topological manifolds. — 2nd. — New York, Dordrecht, Heidelberg, London: Springer, 2011. — Т. 202. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-7939-1 .Jean E. Rubin. Set Theory for the Mathematician . — Holden-Day, 1967. — С. xix.Michael Artin .Algebra . — Prentice Hall, 1991. — ISBN 81-203-0871-9 .T.S. Blyth. Lattices and Ordered Algebraic Structures. — Springer, 2005. — ISBN 1-85233-905-5 .Szymon Dolecki, Frederic Mynard. Convergence Foundations Of Topology . — New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. — ISBN 978-981-4571-53-4 .Paul R. Halmos .Naive set theory . — van Nostrand Company, 1960. — (The University Series in Undergraduate Mathematics).John L. Kelley. General Topology. — 2. — Birkhäuser, 1985. — Т. 27. — (Graduate Texts in Mathematics ). — ISBN 978-0-387-90125-1 .James R. Munkres. Topology. — Second ed.. — Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., 2000. — ISBN 978-0-13-181629-9 .
![{\displaystyle f[A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ed71bdb47bfe4c79812b2740415da6f8914c21)
![{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0252606caa691849fb8e56d74486a185e75bc061)
![{\displaystyle f[.]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b456d6b1ca26f14193e99dbb32ca45d1c2eb50)
![{\displaystyle f^{-1}[B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6089e39c5def7b9907ba317bbb0593f74e5550aa)
![{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721a130e5a1ea872e75c1058ca861a40b2dda5db)
![{\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e16042ec23362592815cff817c8b2760d62671)
![{\displaystyle f^{-1}[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ffa43f26ddc0c27fedee54ea4051661d56fa21)
