Гипербола Киперта (InhyjQklg Tnhyjmg)
Гипе́рбола Ки́перта — гипербола, определяемая по данному треугольнику. Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид.
Определение через изогональное сопряжение
[править | править код]Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.
- Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Иначе говоря, гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая оси Брокара данного треугольника.
Определение через треугольники в трилинейных координатах
[править | править код]Определение через треугольники в трилинейных координатах[1]:
- Если три треугольника , и построены на сторонах треугольника , являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые , и пересекаются в одной точке . Тогда гипербола Киперта может быть определена виде геометрического места точек (см. рис.).
Если общий угол при основании равен , то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты:
Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на гиперболе Киперта
[править | править код]- .
Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах
[править | править код]Геометрическое место точек при изменении угла при основании треугольников между и является гиперболой Киперта с уравнением
- ,
где , , — трилинейные координаты точки в треугольнике.
Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта
[править | править код]Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника[2]:
Значение | Точка |
---|---|
, центроид треугольника (X2) | |
(или ) | , ортоцентр треугольника (X4) |
[3] | Центр Шпикера (X10) |
Внешняя точка Вектена (Vecten points) (X485) | |
Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486) | |
, первая точка Наполеона (X17) | |
, вторая точка Наполеона (X18) | |
, первая точка Ферма (X13) | |
, вторая точка Ферма (X14) | |
(если ) (если ) |
Вершина |
(если ) (если ) |
Вершина |
(если ) (если ) |
Вершина |
Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта
[править | править код]Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i)[3]:
- для i=2, (Центроид треугольника),
- i=4 (Ортоцентр),
- i=10 (Центр Шпикера; то есть, инцентр треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC[1]),
- i=13 (первая точка Ферма), i=14 (вторая точка Ферма),
- i=17 (первая точка Наполеона), i=18 (вторая точка Наполеона),
- i=76 (третья точка Брокара),
- i=83 (точка, изогонально сопряжённая серединной точке между точками Брокара[1]),
- i=94, 96,
- i=98 (Точка Тарри=Tarry point),
- i=226, 262, 275, 321,
- i=485 (Внешняя точка Вектена), i=486 (Внутренняя точка Вектена),
- i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
- i=1139 (внутренняя точка пятиугольника=inner pentagon point), i=1140 (внешняя точка пятиугольника=outer pentagon point),
- i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
- i=2671 (первая точка золотого арбелоса=first golden arbelos point),
- i=2672 (вторая точка золотого арбелоса=second golden arbelos point),
- i=2986, 2996
Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000)
[править | править код]Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера, а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма[4][5].
История
[править | править код]Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934)[1].
Свойства
[править | править код]- Гипербола Киперта — равносторонняя или равнобочная (то есть её асимптоты перпендикулярны), следовательно, её центр, обозначенный в энциклопедии центров треугольника как Х(115), лежит на окружности Эйлера.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994, p. 188—205.
- ↑ Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 125—126.
- ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
- ↑ Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations Архивная копия от 7 октября 2021 на Wayback Machine. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR: 2868943
Литература
[править | править код]- Eddy R. H., Fritsch R. . The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine, 1994, 67. — P. 188—205.