Граф Дюрера (Ijgs :Zjyjg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
«Меланхолия» Альбрехта Дюрера

Граф Дюрера — неориентированный кубический граф с 12 вершинами и 18 рёбрами. Граф назван именем Альбрехта Дюрера, чья гравюра «Меланхолия» (1514) содержала изображение так называемого многогранника Дюрера — выпуклого многогранника, имеющего граф Дюрера в качестве остова[англ.]. Многогранник Дюрера является одним из четырёх возможных хорошо укрытых простых выпуклых многогранников.

Многогранник Дюрера

[править | править код]

Многогранник Дюрера комбинаторно эквивалентен кубу с двумя усечёнными противоположными вершинами[1], хотя на рисунке Дюрера он, скорее, нарисован как усечённый ромбоэдр или трёхгранный усечённый трапецоид[2]. Точные геометрические свойства нарисованного Дюрером многогранника служат предметом академических споров, в которых предполагаются различные гипотетические значения (острых) углов от 72° до 82°[3].

Свойства графа

[править | править код]
Граф Дюрера
Назван в честь Альбрехт Дюрер
Вершин 12
Рёбер 18
Радиус 3
Диаметр 4
Обхват 3
Автоморфизмы 12 (D6)
Хроматическое число 3
Хроматический индекс 3
Свойства

Кубический

Планарный
Хорошо укрытый
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Граф Дюрера является графом, образованным вершинами и рёбрами многогранника Дюрера. Граф является кубическим с обхватом 3 и диаметром 4. Поскольку граф является скелетом многогранника Дюрера, он может быть получен путём применения преобразования треугольник-звезда противоположных вершин графа куба или как обобщённый граф Петерсена . Как и любой другой граф выпуклого многогранника, граф Дюрера является вершинно 3-связным простым планарным графом.

Граф Дюрера является хорошо укрытым, что означает, что все его наибольшие независимые множества имеют одно и то же число вершин — четыре. Граф является одним из хорошо укрытых кубических многогранных графов и одним из семи хорошо укрытых 3-связных кубических графов. Другими тремя хорошо укрытыми простыми выпуклыми многогранниками являются тетраэдр, треугольная призма и пятиугольная призма[4][5].

Граф Дюрера является гамильтоновым с LCF-обозначением [-4,5,2,-4,-2,5;-][6]. Точнее, граф имеет ровно шесть гамильтоновых циклов, каждая пара которых может быть отображена в любую другую симметриями графа[7].

Группа автоморфизмов как графа Дюрера, так и многогранника Дюрера (в виде усечённого куба или в форме, представленной Дюрером) изоморфна диэдрической группе порядка 12.

Примечания

[править | править код]
  1. Weisstein, Eric W. Dürer's Solid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Вебер, 1900.
  3. Вайцель, 2004.
  4. Кэмпбелл, Пламмер, 1988.
  5. Кэмпбелл, Эллингхэм, Ройл, 1993.
  6. Кастанья и Принс (Кастанья, Принс (1972)) приписывают доказательство гамильтоновости класса обобщённых графов Петерсона, в который входит граф Дюрера, тезисам диссертации 1968 года Робертсона (G. N. Robertson) из университета Ватерлоо.
  7. Швенк, 1989.

Литература

[править | править код]
  • S. R. Campbell, M. N. Ellingham, Gordon F. Royle. A characterisation of well-covered cubic graphs // Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing. — 1993. — Т. 13. — С. 193–212.
  • Stephen R. Campbell, Michael D. Plummer. On well-covered 3-polytopes // Ars Combinatoria. — 1988. — Т. 25, вып. A. — С. 215–242.
  • Frank Castagna, Geert Prins. Every Generalized Petersen Graph has a Tait Coloring // Pacific Journal of Mathematics. — 1972. — Т. 40. — doi:10.2140/pjm.1972.40.53.
  • Allen J. Schwenk. Enumeration of Hamiltonian cycles in certain generalized Petersen graphs // Journal of Combinatorial Theory. — 1989. — Т. 47, вып. 1. — С. 53–59. — doi:10.1016/0095-8956(89)90064-6.
  • P. Weber. Beiträge zu Dürers Weltanschauung—Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus. — Strassburg, 1900. (как процитировано у Вайцеля (Вайцель (2004)).
  • Hans Weitzel. A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I // Historia Mathematica. — 2004. — Т. 31, вып. 1. — С. 11–14. — doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6.