Теорема Безу (Mykjybg >y[r)

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$ .

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен $P(x)$ на двучлен $x-a$ :

P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),

где $R(x)$ — остаток. Так как $\deg R(x)<\deg(x-a)=1$ , то $R(x)$ — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за $r$ . Подставляя $x=a$ , поскольку $(a-a)Q(a)=0$ , имеем $P(a)=R(x)=r$ .

Следствия

Число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$ ).
Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
Пусть $a$ — целый корень приведённого многочлена $A(x)$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого $k$ число $A(k)$ кратно $a-k$ .