Замыкание (алгебра) ({gbdtguny (gliyQjg))

В общей алгебре замыкание множества относительно заданного набора алгебраических операций — минимально возможное (то есть не содержащее других подобных) расширение заданного множества, в котором любое применение этих операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы. Минимальное расширение всегда будет существовать как пересечение всех описанных расширений.

Формально, пусть $M$ — подмножество носителя $A$ некоторой алгебры ${\mathfrak {A}}=\langle A,\Sigma \rangle$ . Тогда замыканием множества $M$ относительно сигнатуры $\Sigma$ называется минимальная подалгебра $\langle A_{0},\Sigma \rangle \subseteq {\mathfrak {A}}$ , содержащая $M$ ( $M\subseteq A_{0}$ ).

Примеры:

Замыканием множества $\{1\}$ относительно операции сложения будет множество всех натуральных чисел $\mathbb {N}$ .
Замыканием множества $\{1\}$ относительно операций сложения и вычитания будет множество всех целых чисел $\mathbb {Z}$ ,
Замыкание множества $\{0\}$ относительно сложения, умножения или обеих операций вместе совпадает с ним самим.

Множество, совпадающее со своим замыканием, называется алгебраически замкнутым (относительно заданного набора операций).

Примеры:

Подгруппа замкнута относительно групповой операции.
Подмножество натуральных чисел $\mathbb {N}$ в множестве целых чисел $\mathbb {Z}$ замкнуто относительно операции сложения, но не является замкнутым относительно операции вычитания.

См. также