Sage (Sage)

Sage
Анимированный график, созданный в Sage, y=x2 (красная кривая), y=x3(синяя кривая)
Тип	Система компьютерной алгебры
Разработчик	Стейн, Уильям Артур
Написана на	Python, Cython
Операционная система	Кроссплатформенное программное обеспечение
Первый выпуск	24 февраля 2005
Аппаратная платформа	Python
Последняя версия	10.4 (20 июля 2024)
Репозиторий	github.com/sagemath/sage
Лицензия	GNU General Public License
Сайт	sagemath.org
Медиафайлы на Викискладе

Sage (с англ. — «мудрец») — система компьютерной алгебры, покрывающая много областей математики, включая алгебру, комбинаторику, вычислительную математику и матанализ.

Первая версия Sage была выпущена 24 февраля 2005 года в виде свободного программного обеспечения с лицензией GNU GPL. Первоначальной целью проекта было «создание открытого программного обеспечения альтернативного системам Magma, Maple, Mathematica, и MATLAB». Основной разработчик — математик Вашингтонского университета Уильям Стейн.

Возможности

Веб-интерфейс Sage notebook работает в большинстве современных веб-браузеров.

Решение уравнений с использованием веб-интерфейса Sage notebook.

Основной интерфейс системы — интерактивный блокнот, обеспечивающий просмотр и повторное использование введённых команд, вывод и сохранение полученных результатов, включая графики и текстовые аннотации, доступный из большинства современных веб-браузеров. Поддерживается защищённое соединение через протокол HTTPS. Может выполняться как локально, так и удалённо.

Есть интерфейс ввода на основе командной строки с использованием языка Python (начиная с Sage версии 9.0 — Python версии 3, ранее — Python версии 2).

Поддерживаются параллельные вычисления с использованием как многоядерных процессоров, многопроцессорных систем, так и систем распределённых вычислений.

Матанализ реализован на основе систем Maxima и SymPy. Линейная алгебра реализована на основе систем GSL, SciPy и NumPy. Реализованы собственные библиотеки элементарных и специальных математических функций. Есть средства работы с матрицами и массивами данных с поддержкой разреженных массивов. Имеются различные статистические библиотеки функций, использующие функциональность R и SciPy.

Функции и данные можно выводить в виде плоских и трёхмерных графиков. Есть набор инструментов для добавления собственного пользовательского интерфейса к вычислениям и приложениям. Имеются средства подготовки научно-технической документации с использованием редактора формул и возможностью встраивания Sage в документацию формата LaTeX.

Поддерживается импорт и экспорт различных форматов данных: изображений, видео, аудио, САПР, ГИС, документов и медицинских форматов. Для обработки изображений используются pylab и Python; имеются средства теоретико-графового анализа и визуализации графов.

Есть возможность соединения с базами данных. Поддерживаются различные сетевые протоколы, включая HTTP, NNTP, IMAP, SSH, IRC, FTP.

Реализованы программные интерфейсы для работы с системами Mathematica (также Sage может быть вызван из интерфейса Mathematica), Magma и Maple.

Исходный код и исполняемые файлы Sage доступны для скачивания. При сборке системы многие входящие в комплект библиотеки будут автоматически настроены для оптимальной работы на данном оборудовании, принимая в расчёт количество процессоров и ядер, размер кэш-буферов и поддержку специальных наборов инструкций, например SSE.

Философия разработки Sage

В процессе разработки Sage Уильям Стейн основывался на том, что для создания достойной альтернативы системам Magma, Maple, Mathematica, и MATLAB потребуются сотни или тысячи человеко-лет, если начинать процесс разработки с нуля, при этом существует большое количество готового математического программного обеспечения с открытым исходным кодом, но написанного на различных языках программирования, из которых наиболее встречаемыми являются Си, C++, Фортран и Python.

Таким образом, вместо того, чтобы начинать с нуля, было решено объединить всё специализированное математическое программное обеспечение в систему с общим интерфейсом. Конечному пользователю необходимо лишь знать язык Python. Если для какой-то частной задачи не существовало программного обеспечения с открытым кодом, тогда стояла задача написания соответствующего блока для Sage, при этом, в отличие от коммерческих систем компьютерной алгебры, часто использовались исходные коды уже имеющегося свободного программного обеспечения.

К разработке Sage привлекаются как профессионалы, так и студенты. Разработчики работают на общественных началах и поддерживаются грантами.

Лицензирование и доступность

Sage — свободное программное обеспечение, распространяемое по условиям лицензии GNU General Public License версии 2+. Исходный код может быть скачан с официального сайта. Также доступны выпуски, находящиеся в процессе разработки, хотя они не рекомендуются обычным пользователям. Исполняемые файлы доступны для операционных систем Linux, Windows, OS X и Solaris (как под архитектуру x86, так и SPARC). Также доступен live CD с версией Linux, что позволяет опробовать Sage без установки на компьютер.

Пользователи могут использовать онлайн-версию Sage. При этом имеются ограничения на объём доступной памяти и конфиденциальность работы.

В 2007 году Sage выиграл первый приз международного конкурса свободного программного обеспечения Les Trophées du Libre в разделе научного программного обеспечения.

Содержащиеся в Sage программные пакеты

Математические пакеты

Алгебра	GAP, Maxima, Singular
Алгебраическая геометрия	Singular
Арифметика произвольной точности	GMP, MPFR, MPFI, NTL
Арифметическая геометрия	PARI, NTL, mwrank, ecm
Матанализ	Maxima, SymPy, GiNaC
Комбинаторика	Symmetrica, Sage-Combinat
Линейная алгебра	Linbox, IML
Теория графов	NetworkX
Теория групп	GAP
Численные расчёты	GSL, SciPy, NumPy, ATLAS

Другие пакеты

Интерфейс командной строки	IPython
Базы данных	ZODB, Python Pickles, SQLite
Графический интерфейс	Sage Notebook, jsmath
Графика	Matplotlib, Tachyon3d, GD, Jmol
Интерпретатор команд	Python
Сетевые возможности	Twisted

Примеры работы с командной строкой

Анализ

x,a,b,c = var('x,a,b,c')

log(sqrt(a)).simplify_log() # returns (log(a))/2
log(a/b).simplify_log() # returns log(a) - log(b)
sin(a+b).simplify_trig() # returns cos(a)*sin(b) + sin(a)*cos(b)
cos(a+b).simplify_trig() # returns cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
(a+b)^5 # returns (b + a)^5
expand((a+b)^5) # returns b^5 + 5*a*b^4 + 10*a^2*b^3 +
 # 10*a^3*b^2 + 5*a^4*b + a^5

limit((x^2+1)/(2+x+3*x^2), x=infinity) # returns 1/3
limit(sin(x)/x, x=0) # returns 1

diff(acos(x),x) # returns -1/sqrt(1 - x^2)
f = exp(x)*log(x)
f.diff(x,3) # returns e^x*log(x) + 3*e^x/x - 3*e^x/x^2 + 2*e^x/x^3

solve(a*x^2 + b*x + c, x) # returns [x == (-sqrt(b^2 - 4*a*c) - b)/(2*a),
 # x == (sqrt(b^2 - 4*a*c) - b)/(2*a)]

f = x^2 + 432/x
solve(f.diff(x)==0,x) # returns [x == 3*sqrt(3)*I - 3,
 # x == -3*sqrt(3)*I - 3, x == 6]

Дифференциальные уравнения

t = var('t') # define a variable t
x = function('x',t) # define x to be a function of that variable
DE = lambda y: diff(y,t) + y - 1
desolve(DE(x(t)), [x,t]) # returns '%e^-t*(%e^t+%c)'

Линейная алгебра

A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]])
y = vector([0,-4,-1])
A.solve_right(y) # returns (-2, 1, 0)
A.eigenvalues() # returns [5, 0, -1]

B = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,2,1]])
B.inverse()
# [ 0 1/2 -1/2]
# [-1/4 -1/4 1]
# [ 1/2 0 -1/2]

# Moore-Penrose pseudo-inverse
C = Matrix([[1 , 1], [2 , 2]])
C.pseudoinverse()
# [1/10  1/5]
# [1/10  1/5]

Теория чисел

prime_pi(1000000) # returns 78498, the number of primes less than one million

E = EllipticCurve('389a') # construct an elliptic curve from its Cremona label
P, Q = E.gens()
7*P + Q # returns (2869/676 : -171989/17576 : 1)

Построение графиков и диаграмм

Построение в Sage лемнискаты Жероно, используя неявно заданную функцию.

Построение в Sage лемнискаты Жероно, используя неявно заданную функцию.

Лемниската Жероно — плоская кривая, удовлетворяющая уравнению $\textstyle x^{4}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

## Лемниската Жероно
## x^4=a^2*(x^2-y^2)

a=1
var('x y')
pl=implicit_plot(x^4-(a^2)*(x^2-y^2), (x,-a,a), (y,-a,a),linewidth=2, gridlines=True,frame=False,axes=True)
pl.show()

История версий

Основные выпуски:

Версии Sage

Версия	Дата выпуска	Описание
0.1	Январь 2005	Включена Pari, но отсутствуют GAP и Singular
0.2 — 0.4	С марта по июль 2005	База данных Cremona, мультивариантные полиномы, large finite fields и больше документации
0.5 — 0.7	С августа по сентябрь 2005	Векторные поля, кольца, modular symbols и windows usage
0.8	Октябрь 2005	В полном составе включены GAP, Singular
0.9	Ноябрь 2005	Добавлены Maxima и clisp
1.0	Февраль 2006
2.0	Январь 2007
3.0	Апрель 2008	Интерактивная оболочка, интерфейс к языку R
4.0	May 2009	Поддержка Solaris 10, поддержка 64bit OSX
5.0	Май 2012	Поддержка OSX Lion
6.0	Декабрь 2013	Репозиторий Sage перемещён в Git
7.0	Январь 2016
8.0	Июль 2017	Поддержка Windows
9.0	Январь 2020	Переход на Python 3

Ссылки

• Project home page (англ.)
• Free software brings affordability, transparency to mathematics (англ.)
• AMS Notices Opinion — Open Source Mathematical Software (англ.)
• Таранчук В. Б. Основные функции систем компьютерной алгебры (рус.). — Минск: БГУ, 2013. — 59 p.