k-means++ (k-means++)

k-means++ — улучшенная версия алгоритма кластеризации k-means. Суть улучшения заключается в нахождении более «хороших» начальных значений центроидов кластеров на основе поиска максимально отдалённых друг от друга потенциальных ядер кластеров. Оригинальный k-means не регламентирует то, как выполняется этот этап алгоритма, и поэтому является нестабильным. Алгоритм предложен в 2007 году Дэвидом Артуром и Сергеем Вассильвитским. Также есть другие похожие методы, открытые другими учёными независимо.

Инициализация

1. Выбрать первый центроид случайным образом (среди всех точек)
2. Для каждой точки найти значение квадрата расстояния до ближайшего центроида (из тех, которые уже выбраны) dx²
3. Выбрать из этих точек следующий центроид так, чтобы вероятность выбора точки была пропорциональна вычисленному для неё квадрату расстояния
   Это можно сделать следующим образом. На шаге 2 нужно параллельно с расчётом dx² подсчитывать сумму Sum(dx²). После накопления суммы найти значение Rnd=random(0.0,1.0)*Sum. Rnd случайным образом укажет на число из интервала [0; Sum), и нам остаётся только определить, какой точке это соответствует. Для этого нужно снова начать подсчитывать сумму S(dx²) до тех пор, пока сумма не превысит Rnd. Как только это случится, суммирование останавливается, и мы можем взять текущую точку в качестве центроида.
   При выборе каждого следующего центроида специально следить за тем, чтобы он не совпал с одной из уже выбранных в качестве центроидов точек, не нужно, так как вероятность повторного выбора некоторой точки равна 0.
4. Повторять шаги 2 и 3 до тех пор, пока не будут найдены все необходимые центроиды.

Далее выполняется основной алгоритм k-means.

Реализации

Реализация на языке Java включена в популярную библиотеку Apache.

Реализация на Python включена в библиотеку Scikit-learn.