Шахматная доска Фейнмана (Og]bgmugx ;kvtg Sywubgug)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Шахматная доска Фейнмана с двумя путями, вносящими вклад в сумму для пропагатора из (, ) = (0, 0) в (3, 7)

Шахматная доска Фейнмана (релятивистская шахматная доска) — предложенная Ричардом Фейнманом модель, иллюстрирующая формулировку «суммы по путям» для интеграла по траекториям свободной частицы со спином ½, движущейся в одном пространственном измерении. Она обеспечивает представление решений уравнения Дирака в (1 + 1) -мерном пространстве-времени в виде дискретных сумм.

Модель можно визуализировать, рассматривая релятивистские случайные блуждания на двумерной шахматной доске пространства-времени. На каждом дискретном временном шаге частица массы проходит расстояние влево или вправо ( — скорость света). Для такого дискретного движения интеграл по Фейнману сводится к сумме по возможным путям. Фейнман продемонстрировал, что если каждый «поворот» (изменение движения слева направо или наоборот) пути в пространстве-времени взвешивается с коэффициентом ( — приведенная постоянная Планка), в пределе бесконечно малых квадратов шахматной доски сумма всех взвешенных путей дает пропагатор, который удовлетворяет одномерному уравнению Дирака. В результате спиральность (одномерный эквивалент спина) получается из простого правила типа клеточных автоматов.

Модель шахматной доски важна, потому что она связывает спин и хиральность с распространением в пространстве-времени[1] и является единственной формулировкой суммы по пути, в которой квантовая фаза дискретна на уровне путей, принимая только значения, соответствующие корню 4-й степени из единицы .

Фейнман изобрел модель в 1940-х годах при разработке своего пространственно-временного подхода к квантовой механике.[2] Он не опубликовал результат, пока он не появился в тексте об интегралах по путям, соавтором которого был Альберт Хиббс в середине 1960-х годов.[3] Модель не была включена в оригинальную статью с интегралом по траектории потому что подходящее обобщение для четырехмерного пространства-времени не было найдено.[4]

Одна из первых связей между амплитудами, предписанными Фейнманом для частицы Дирака в 1 + 1 измерениях, и стандартной интерпретацией амплитуд в терминах ядра или пропагатора, была установлена Джаянтом Нарликаром в детальном анализе.[5] Название «модель шахматной доски Фейнмана» было придумано Гершем, когда он продемонстрировал ее связь с одномерной моделью Изинга.[6] Гаво и соавторы обнаружили связь между моделью и стохастической моделью телеграфных уравнений благодаря Марку Кацу посредством аналитического продолжения.[7] Якобсон и Шульман рассмотрели переход от релятивистского к нерелятивистскому интегралу пути.[8] Впоследствии Орд показал, что модель шахматной доски была встроена в корреляции в первоначальной стохастической модели Каца[9] и поэтому имела чисто классический контекст, свободный от формального аналитического продолжения.[10] В том же году Кауфман и Нойес[11] выпустили полностью дискретную версию, касающуюся физики битовых струн, которая превратилась в общий подход к дискретной физике.[12]

Расширения

[править | править код]

Хотя Фейнман не дожил до публикации расширений модели шахматной доски, из его архивных заметок видно, что он был заинтересован в установлении связи между корнями 4-й степени из единицы (используемых в качестве статистических весов на путях шахматной доски) и своим совместным с Дж. А. Уилером открытием, что античастицы эквивалентны частицам, движущимся назад во времени. Его заметки содержат несколько набросков дорожек шахматной доски с добавленными пространственно-временными петлями.[13] Первым расширением модели, которая явно содержала такие петли, была «спиральная модель», в которой на шахматной доске допускались спиральные траектории в пространстве-времени. В отличие от случая с шахматной доской, причинно-следственная связь должна быть реализована явно, чтобы избежать расхождений, однако с этим ограничением уравнение Дирака возникло как предел континуума.[14] Далее роли «дрожащего движения», античастиц и моря Дирака в модели шахматной доски были выяснены[15] и через нерелятивистский предел рассмотрены следствия для уравнения Шредингера.[16]

Дальнейшие расширения исходной 2-мерной модели пространства-времени включают такие особенности, как улучшенные правила суммирования[17] и обобщенные решетки.[18] Не было единого мнения об оптимальном расширении модели шахматной доски до полностью четырехмерного пространства-времени. Существуют два различных класса расширений: те, которые работают с фиксированной базовой решеткой[19][20] и те, которые встраивают двумерный случай в пространство более высокой размерностью.[21][22] Преимущество первого состоит в том, что сумма по путям ближе к нерелятивистскому случаю, однако простая картина единственной, не зависящей от направления скорости света теряется. В последних расширениях свойство фиксированной скорости поддерживается за счет переменных направлений на каждом шаге.

Примечания

[править | править код]
  1. Schweber, Silvan S. QED and the men who made it. — Princeton University Press, 1994.
  2. Feynman, R. P. Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics (англ.) // Reviews of Modern Physics : journal. — American Physical Society (APS), 1948. — 1 April (vol. 20, no. 2). — P. 367—387. — ISSN 0034-6861. — doi:10.1103/revmodphys.20.367.
  3. Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, New York: McGraw-Hill, Problem 2-6, pp. 34-36, 1965.
  4. R. P. Feynman, The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics Архивная копия от 12 мая 2015 на Wayback Machine, Science, 153, pp. 699—708, 1966 (Reprint of the Nobel Prize lecture).
  5. J. Narlikar, Path Amplitudes for Dirac particles, Journal of the Indian Mathematical Society, 36, pp. 9-32, 1972.
  6. Gersch, H. A. Feynman's relativistic chessboard as an ising model (англ.) // International Journal of Theoretical Physics[англ.] : journal. — Springer Nature, 1981. — Vol. 20, no. 7. — P. 491—501. — ISSN 0020-7748. — doi:10.1007/bf00669436.
  7. Gaveau, B. Relativistic Extension of the Analogy between Quantum Mechanics and Brownian Motion (англ.) // Physical Review Letters : journal. — American Physical Society (APS), 1984. — 30 July (vol. 53, no. 5). — P. 419—422. — ISSN 0031-9007. — doi:10.1103/physrevlett.53.419.
  8. Jacobson, T. Quantum stochastics: the passage from a relativistic to a non-relativistic path integral (англ.) // Journal of Physics A: Mathematical and General[англ.] : journal. — IOP Publishing, 1984. — 1 February (vol. 17, no. 2). — P. 375—383. — ISSN 0305-4470. — doi:10.1088/0305-4470/17/2/023.
  9. Kac, Mark. A stochastic model related to the telegrapher's equation (англ.) // Rocky Mountain Journal of Mathematics[англ.] : journal. — Rocky Mountain Mathematics Consortium, 1974. — Vol. 4, no. 3. — P. 497—510. — ISSN 0035-7596. — doi:10.1216/rmj-1974-4-3-497.
  10. Ord, G.N. The Schrödinger and Dirac Free Particle Equations without Quantum Mechanics (англ.) // Annals of Physics[англ.] : journal. — Elsevier BV, 1996. — Vol. 250, no. 1. — P. 51—62. — ISSN 0003-4916. — doi:10.1006/aphy.1996.0087.
  11. Kauffman, Louis H. Discrete physics and the Dirac equation (англ.) // Physics Letters A[англ.] : journal. — Elsevier BV, 1996. — Vol. 218, no. 3—6. — P. 139—146. — ISSN 0375-9601. — doi:10.1016/0375-9601(96)00436-7. — arXiv:hep-th/9603202.
  12. Louis H. Kauffman, Non-Commutative Worlds — A Summary, 2005, arXiv: quant-ph/0503198.
  13. Schweber, Silvan S. Feynman and the visualization of space-time processes (англ.) // Reviews of Modern Physics : journal. — American Physical Society (APS), 1986. — 1 April (vol. 58, no. 2). — P. 449—508. — ISSN 0034-6861. — doi:10.1103/revmodphys.58.449.
  14. Ord, G. N. Classical analog of quantum phase (англ.) // International Journal of Theoretical Physics[англ.] : journal. — Springer Nature, 1992. — Vol. 31, no. 7. — P. 1177—1195. — ISSN 0020-7748. — doi:10.1007/bf00673919.
  15. Ord, G. N. The Feynman Propagator from a Single Path (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 2002. — 2 December (vol. 89, no. 25). — ISSN 0031-9007. — doi:10.1103/physrevlett.89.250403. — arXiv:quant-ph/0109092. — PMID 12484870.
  16. Ord, G.N. Entwined pairs and Schrödinger's equation (англ.) // Annals of Physics[англ.] : journal. — Elsevier BV, 2003. — Vol. 308, no. 2. — P. 478—492. — ISSN 0003-4916. — doi:10.1016/s0003-4916(03)00148-9. — arXiv:quant-ph/0206095.
  17. Kull, Andreas. On the path integral of the relativistic electron (англ.) // International Journal of Theoretical Physics[англ.] : journal. — 1999. — Vol. 38, no. 5. — P. 1423—1428. — ISSN 0020-7748. — doi:10.1023/a:1026637015146. — arXiv:quant-ph/9901058.
  18. Kull, Andreas. Quantum mechanical motion of relativistic particle in non-continuous spacetime (англ.) // Physics Letters A[англ.] : journal. — 2002. — Vol. 303, no. 2—3. — P. 147—153. — ISSN 0375-9601. — doi:10.1016/s0375-9601(02)01238-0. — arXiv:quant-ph/0212053.
  19. Jacobson, T. Non-Linear Equations in Classical and Quantum Field Theory (англ.). — Springer Berlin Heidelberg, 1985. — Vol. 226. — P. 386—395. — (Lecture Notes in Physics). — ISBN 978-3-540-15213-2. — doi:10.1007/3-540-15213-x_88.
  20. Frank D. Smith, HyperDiamond Feynman Checkerboard in 4-dimensional Spacetime, 1995, arXiv: quant-ph/9503015
  21. Ord, G.N. On the Dirac Equation in 3 + 1 Dimensions (англ.) // Annals of Physics[англ.] : journal. — Elsevier BV, 1993. — Vol. 222, no. 2. — P. 244—253. — ISSN 0003-4916. — doi:10.1006/aphy.1993.1022.
  22. Rosen, Gerald. Feynman path summation for the Dirac equation: An underlying one-dimensional aspect of relativistic particle motion (англ.) // Physical Review A : journal. — American Physical Society (APS), 1983. — 1 August (vol. 28, no. 2). — P. 1139—1140. — ISSN 0556-2791. — doi:10.1103/physreva.28.1139.