Моногенная функция (Bkukiyuugx srutenx)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Функция называется моногенной (или дифференцируемой в смысле комплексного анализа) в точке , если предел

существует и одинаков для приближения к точке по произвольному пути. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки , называется голоморфной в этой точке. Функция, моногенная во всех точках некоторой открытой области , называется голоморфной в этой области.

Функция называется полигенной, если подобный предел зависит от пути и имеет бесконечно много значений. Можно показать, что комплекснозначная функция может быть либо моногенной, либо полигенной, а случай существования конечного количества различных значений этого предела исключён.

Пример. Функция — моногенная в нуле:

а функция — полигенная:

или

где φаргумент числа z − 0, а sgn — комплексная функция знака, которая принимает значение, модуль которого всегда единичен.

Литература

[править | править код]
  • Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
  • Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.