Универсальная обёртывающая алгебра (Runfyjvgl,ugx kQ~jmdfgZpgx gliyQjg)

Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.

Построение

Ассоциативная алгебра $A$ над полем $K$ обладает естественной структурой алгебры Ли над $K$ со следующей скобкой Ли: $[a,b]=ab-ba$, то есть, из ассоциативного произведения можно построить скобку Ли с помощью простого взятия коммутатора. Обозначим эту алгебру Ли $A_{L}$.

Построение универсальной обёртывающей алгебры пытается обратить этот процесс: для данной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ над $K$ находят «наиболее общую» ассоциативную $K$-алгебру $U({\mathfrak {g}})$ такую, что алгебра Ли $U_{L}$ содержит ${\mathfrak {g}}$. Важное ограничение — сохранение теории представлений: представления ${\mathfrak {g}}$ соотносятся точь-в-точь так же как и модули над $U({\mathfrak {g}})$. В типичном контексте, где ${\mathfrak {g}}$ задаётся инфинитезимальными преобразованиями, элементы $U({\mathfrak {g}})$ действуют как дифференциальные операторы всех порядков.

Мотивация

Важная тема в изучении алгебр и вероятно основной путь их появления в приложениях это представление алгебры Ли. Представление $\rho$ ставит каждому элементу x алгебры Ли линейный оператор $\rho (x)$. Данное пространство линейных операторов не только алгебра Ли, но также и ассоциативная алгебра, так что возможно рассматривать произведения $\rho (x)\rho (y)$. Суть введения универсальной обёртывающей алгебры в изучении таких произведений в различных представлениях алгебры Ли. Сразу видно одно препятствие в наивной попытке сделать это: свойства произведений коренным образом зависят от выбранного представления, а не только от самой алгебры Ли. Например, для одного представления можно получить $\rho (x)\rho (y)=0$, в то время как в другом представлении это произведение может быть ненулевым. Тем не менее определённые свойства универсальны для всех представлений, то есть сохраняют справедливость для всех представлений одновременно. Универсальная обёртывающая алгебра — это способ охватить все такие свойства и только их.

Универсальное свойство

Пусть ${\mathfrak {g}}$ — произвольная алгебра Ли над полем $K$. При заданных ассоциативной алгебре $U$ с единицей и гомоморфизме алгебр Ли

$h\colon {\mathfrak {g}}\to U_{L},$

будем говорить, что $U$ является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$, если она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любой ассоциативной алгебры $A$ с единицей и гомоморфизма алгебр Ли

$f\colon {\mathfrak {g}}\to A_{L}$

существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр с единицей

$g\colon U\to A$

такой, что

$f=gh.$

Это универсальное свойство также можно понимать так: функтор, отображающий ${\mathfrak {g}}$ в её универсальную обёртывающую алгебру, сопряжён слева к функтору, отображающему ассоциативную алгебру $A$ в соответствующую алгебру Ли $A_{L}$.

Прямое построение

Из этого универсального свойства можно вывести, что если алгебра Ли имеет универсальную обёртывающую алгебру, то эта обёртывающая алгебра однозначно определяется алгеброй ${\mathfrak {g}}$ с точностью до изоморфизма. С помощью следующей конструкции, которая напрашивается из общих соображений (например, как часть пары сопряжённых функторов), устанавливается, что на самом деле любая алгебра Ли обязательно имеет универсальную обёртывающую алгебру.

Начиная с тензорной алгебры $T({\mathfrak {g}})$ на векторном пространстве алгебры ${\mathfrak {g}}$, мы получаем $U({\mathfrak {g}})$ факторизацией $T({\mathfrak {g}})$ по соотношениям

$a\otimes b-b\otimes a=[a,b]$

для любых $a$ и $b$ в ${\mathfrak {g}}$, где скобки в правой части выражения обозначают коммутатор в ${\mathfrak {g}}$.

Формально это значит, что

$U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I$,

где $I$ — двусторонний идеал алгебры $T({\mathfrak {g}})$, порождённый элементами вида

$a\otimes b-b\otimes a-[a,b],\quad a,b\in {\mathfrak {g}}.$

Естественное отображение ${\mathfrak {g}}\to T({\mathfrak {g}})$ задает отображение $h\colon {\mathfrak {g}}\to U_{L}$, и именно этот гомоморфизм алгебр Ли используется в вышеприведённом универсальном свойстве.

Описанная конструкция почти дословно переносится на случай супералгебр Ли.

Примеры

Если ${\mathfrak {g}}$ абелева (то есть, коммутатор всегда 0), то $U({\mathfrak {g}})$ — коммутативна; если выбран базис векторного пространства ${\mathfrak {g}}$, то $U({\mathfrak {g}})$ может рассматриваться как алгебра многочленов над $K$ с одной переменной для каждого базисного элемента.

Если ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли группы Ли $G$, то $U({\mathfrak {g}})$ может рассматриваться как алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на $G$, содержащая ${\mathfrak {g}}$ в качестве дифференциальных операторов первого порядка (которые находятся во взаимном соответствии с левоинвариантными векторными полями на $G$).

Центр алгебры $U({\mathfrak {g}})$ обозначается через $Z({\mathfrak {g}})$ и состоит из дифференциальных операторов, являющихся инвариантными как относительно левого действия группы, так и относительно правого; в случае некоммутативности $G$ центр часто не порождается операторами первого порядка (например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли).

Также $U({\mathfrak {g}})$ можно охарактеризовать как алгебру обобщённых функций с носителем на единичном элементе $e$ группы $G$ с операцией свёртки.

Алгебра Вейля дифференциальных операторов от $n$ переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена, начиная с алгебры Ли группы Гейзенберга. Для этого необходимо профакторизовать её так, чтобы центральные элементы данной алгебры Ли действовали как скаляры.

Дальнейшее описание структуры

Фундаментальная теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта даёт точное описание $U({\mathfrak {g}})$; наиболее важное следствие из неё — это то, что ${\mathfrak {g}}$ может рассматриваться как линейное подпространство $U({\mathfrak {g}})$. Более точно: каноническое отображение $h\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ всегда инъективно. Более того, $U({\mathfrak {g}})$ порождается ${\mathfrak {g}}$ как ассоциативная алгебра с единицей.

${\mathfrak {g}}$ действует на себе при помощи присоединённого представления алгебры Ли, и это действие может быть расширено на представление ${\mathfrak {g}}$ в эндоморфизмы $U({\mathfrak {g}})$: ${\mathfrak {g}}$ действует как алгебра производных на $T({\mathfrak {g}})$, и это действие сохраняет наложенные соотношения, поэтому она фактически действует на $U({\mathfrak {g}})$. (Это чисто инфинитезимальный способ смотреть на вышеупомянутые инвариантные дифференциальные операторы.)

При таком представлении, элементы $U({\mathfrak {g}})$, инвариантные относительно действия ${\mathfrak {g}}$ (то есть действие на них любого элемента ${\mathfrak {g}}$ тривиально), называются инвариантными элементами. Они порождаются инвариантами Казимира.

Как было сказано выше, конструкция универсальных обёртывающих алгебр — это часть пары сопряжённых функторов. $U$ — функтор из категории алгебр Ли над $K$ в категорию ассоциативных $K$-алгебр с единицей. Этот функтор — сопряженный слева к функтору, отображающему алгебру $A$ в алгебру $A_{L}$. Следует отметить, что конструкция универсальной обёртывающей алгебры не является в точности обратной к формированию $A_{L}$: если начать с ассоциативной алгебры $A$, то $U(A_{L})$ не равна $A$; она значительно больше.

Сведения о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим образом: абелева категория всех представлений ${\mathfrak {g}}$ изоморфна абелевой категории всех левых модулей $U({\mathfrak {g}})$.

Построение групповой алгебры заданной группы во многом аналогично построению универсальной обёртывающей алгебры для заданной алгебры Ли. Оба построения универсальны и переносят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обёртывающие алгебры имеют естественную структуру коумножения, которая превращает их в алгебры Хопфа.

Литература

• Dixmier, Jacques. Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation.. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1996. — Т. 11. — 379 с. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-0560-6.
• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — Москва: Мир, 1969. — 376 с. — ISBN 978-5-458-50774-5.  
• Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — 2-е изд., доп. — Москва: МЦНМО, 2007. — 552 с. — ISBN 978-5-94057-302-9.