Ундулоид (Ru;rlkn;)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Ундулоид.

Ундулоид — пример поверхности с постоянной средней кривизной. Является поверхностью вращения траектории фокуса эллипса при катании его по прямой.

В 1841 году Шарль Делоне доказал, что единственными поверхностями с постоянной средней кривизной были поверхности, полученные катанием коник. Это плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, ундулоид и нодоид.[1]

Параметризация

[править | править код]

Пусть обозначает нормальную функцию синуса Якоби, а — нормальная эллиптическая функция Якоби. Далее, пусть представляют собой нормальный эллиптический интеграл первого рода и представляют собой нормальный эллиптический интеграл второго рода. Пусть a — длина большой оси эллипса, а eэксцентриситет эллипса. Пусть k будет фиксированным значением от 0 до 1, называемым модулем.

Тогда эллиптическая цепная линия описывается параметрическими уравнениями

А значит её поверхность вращения может быть параметризована следующим образом:

Возникновение в материаловедении

[править | править код]

Есть несколько примеров появления ундулоидов в природе.

Впервый такой прмер задокументирован в 1970 году. При прохождении сильного электрического тока через тонкую (0,16–1,0 мм) горизонтально установленную жестко вытянутую (не закаленную) серебряную проволоку приводит к образованию ундулоидов по ее длине. Позже было обнаружено, что это же явление наблюдается и на молибденовой проволоке.[2]

Ундулоиды также были обнаружены в феррожидкостях. Пропуская ток в осевом направлении через цилиндр, покрытый пленкой вязкой магнитной жидкости, магнитные диполи жидкости взаимодействуют с магнитным полем тока, создавая узор капель по длине цилиндра.

Примечания

[править | править код]
  1. C. Delaunay, Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl., 6 (1841), 309–320.
  2. “Periodic Videos, Exploding wires” на YouTube
  • Ундулоид // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.