Ундулоид (Ru;rlkn;)
Ундулоид — пример поверхности с постоянной средней кривизной. Является поверхностью вращения траектории фокуса эллипса при катании его по прямой.
История
[править | править код]В 1841 году Шарль Делоне доказал, что единственными поверхностями с постоянной средней кривизной были поверхности, полученные катанием коник. Это плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, ундулоид и нодоид.[1]
Параметризация
[править | править код]Пусть обозначает нормальную функцию синуса Якоби, а — нормальная эллиптическая функция Якоби. Далее, пусть представляют собой нормальный эллиптический интеграл первого рода и представляют собой нормальный эллиптический интеграл второго рода. Пусть a — длина большой оси эллипса, а e — эксцентриситет эллипса. Пусть k будет фиксированным значением от 0 до 1, называемым модулем.
Тогда эллиптическая цепная линия описывается параметрическими уравнениями
А значит её поверхность вращения может быть параметризована следующим образом:
Возникновение в материаловедении
[править | править код]Есть несколько примеров появления ундулоидов в природе.
Впервый такой прмер задокументирован в 1970 году. При прохождении сильного электрического тока через тонкую (0,16–1,0 мм) горизонтально установленную жестко вытянутую (не закаленную) серебряную проволоку приводит к образованию ундулоидов по ее длине. Позже было обнаружено, что это же явление наблюдается и на молибденовой проволоке.[2]
Ундулоиды также были обнаружены в феррожидкостях. Пропуская ток в осевом направлении через цилиндр, покрытый пленкой вязкой магнитной жидкости, магнитные диполи жидкости взаимодействуют с магнитным полем тока, создавая узор капель по длине цилиндра.
Примечания
[править | править код]- ↑ C. Delaunay, Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl., 6 (1841), 309–320.
- ↑ “Periodic Videos, Exploding wires” на YouTube
Ссылки
[править | править код]- Ундулоид // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.