Тригамма-функция (Mjnigbbg-srutenx)

Тригамма-функция действительного аргумента x

Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается $\psi _{1}(z)$ и определяется как

$\psi _{1}(z)={\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\ln \Gamma (z)\;,$

где $\Gamma (z)$ — гамма-функция. Из этого определения следует, что

$\psi _{1}(z)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\psi (z)\;,$

где $\psi (z)$ — дигамма-функция (первая из полигамма-функций).

Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

$\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},$

откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function),

$\psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.$

Эти формулы верны, когда $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ (в указанных точках функция $\psi _{1}(z)$ имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).

Существуют также другие обозначения для $\psi _{1}(z)$, используемые в литературе:

$\psi '(z),\;\;\;\psi ^{(1)}(z)\;.$

Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции ${\displaystyle F'(z)=\psi _{1}(z+1)}$.

Интегральные представления

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

$\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.$

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

$\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{\rm {d}}x\;.$

Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e^—t:

$\psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,{\rm {d}}t\;.$

Другие формулы

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

$\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,$

а также формуле дополнения

$\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}\;.$

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

$\psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi _{1}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\;.$

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли:

$\psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.$

Частные значения

Ниже приведены частные значения тригамма-функции:

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,$

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,$

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,$

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,$

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,$

$\psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,$

где G — постоянная Каталана, а $\mathrm {Cl} _{2}(\theta )$ — функция Клаузена, связанная с мнимой частью дилогарифма через

$\mathrm {Cl} _{2}(\theta )=\mathrm {Im} \left[\mathrm {Li} _{2}\!\left(e^{\mathrm {i} \theta }\right)\right]\;.$

Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь $\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)$ с функцией Клаузена, получаем:

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,$

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,$

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4-{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,$

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,$

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,$

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4-{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;.$

Для значений за пределами интервала $0<z\leq 1$ можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше. Например,

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,$

$\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,$

$\psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.$

См. также

• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Полигамма-функция
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица

Ссылки

• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. раздел §6.4
• Eric W. Weisstein, Trigamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Polygamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com