Числители и знаменатели дроби чисел Бернулли составляют последовательность A027641 в OEIS и последовательность A027642 в OEIS соответственно;
B
0
=
1
{\displaystyle B_{0}=1}
B
1
=
−
1
2
{\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}}}
B
2
=
1
6
{\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}}
B
3
=
0
{\displaystyle B_{3}=0}
B
4
=
−
1
30
{\displaystyle B_{4}=-{\frac {1}{30}}}
B
5
=
0
{\displaystyle B_{5}=0}
B
6
=
1
42
{\displaystyle B_{6}={\frac {1}{42}}}
B
7
=
0
{\displaystyle B_{7}=0}
B
8
=
−
1
30
{\displaystyle B_{8}=-{\frac {1}{30}}}
B
9
=
0
{\displaystyle B_{9}=0}
B
10
=
5
66
{\displaystyle B_{10}={\frac {5}{66}}}
B
11
=
0
{\displaystyle B_{11}=0}
B
12
=
−
691
2730
{\displaystyle B_{12}=-{\frac {691}{2730}}}
B
13
=
0
{\displaystyle B_{13}=0}
B
14
=
7
6
{\displaystyle B_{14}={\frac {7}{6}}}
B
15
=
0
{\displaystyle B_{15}=0}
B
16
=
−
3617
510
{\displaystyle B_{16}=-{\frac {3617}{510}}}
B
17
=
0
{\displaystyle B_{17}=0}
B
18
=
43867
798
{\displaystyle B_{18}={\frac {43867}{798}}}
B
19
=
0
{\displaystyle B_{19}=0}
B
20
=
−
174611
330
{\displaystyle B_{20}=-{\frac {174611}{330}}}
B
22
=
854513
138
{\displaystyle B_{22}={\frac {854513}{138}}}
B
24
=
−
236364091
2730
{\displaystyle B_{24}=-{\frac {236364091}{2730}}}
B
26
=
8553103
6
{\displaystyle B_{26}={\frac {8553103}{6}}}
B
28
=
−
23749461029
870
{\displaystyle B_{28}=-{\frac {23749461029}{870}}}
B
30
=
8615841276005
14322
{\displaystyle B_{30}={\frac {8615841276005}{14322}}}
B
32
=
−
7709321041217
510
{\displaystyle B_{32}=-{\frac {7709321041217}{510}}}
B
34
=
2577687858367
6
{\displaystyle B_{34}={\frac {2577687858367}{6}}}
B
36
=
−
26315271553053477373
1919190
{\displaystyle B_{36}=-{\frac {26315271553053477373}{1919190}}}
B
38
=
2929993913841559
6
{\displaystyle B_{38}={\frac {2929993913841559}{6}}}
B
40
=
−
261082718496449122051
13530
{\displaystyle B_{40}=-{\frac {261082718496449122051}{13530}}}
B
42
=
1520097643918070802691
1806
{\displaystyle B_{42}={\frac {1520097643918070802691}{1806}}}
B
44
=
−
27833269579301024235023
690
{\displaystyle B_{44}=-{\frac {27833269579301024235023}{690}}}
B
46
=
596451111593912163277961
282
{\displaystyle B_{46}={\frac {596451111593912163277961}{282}}}
B
48
=
−
5609403368997817686249127547
46410
{\displaystyle B_{48}=-{\frac {5609403368997817686249127547}{46410}}}
B
50
=
495057205241079648212477525
66
{\displaystyle B_{50}={\frac {495057205241079648212477525}{66}}}
Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел
B
0
,
B
1
,
B
2
,
…
{\displaystyle B_{0},B_{1},B_{2},\dots }
Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел , возведённых в одну и ту же степень :
∑
n
=
0
N
−
1
n
k
=
1
k
+
1
∑
s
=
0
k
(
k
+
1
s
)
B
s
N
k
+
1
−
s
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},}
где
(
k
+
1
s
)
=
(
k
+
1
)
!
s
!
⋅
(
k
+
1
−
s
)
!
{\displaystyle {\tbinom {k+1}{s}}={\tfrac {(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}}}
биномиальный коэффициент .
Некоторые авторы указывают другие определения, однако в большинстве современных учебников даётся такое же определение, как и здесь. При этом
B
1
=
−
1
2
{\displaystyle B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}}
Фихтенгольца ) использует определение, которое отличается от этого только знаком
B
k
{\displaystyle B_{k}}
B
1
{\displaystyle B_{1}}
B
n
{\displaystyle B_{n}}
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
|
B
2
n
|
{\displaystyle |B_{2n}|}
Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула :
B
0
=
1
,
{\displaystyle B_{0}=1,}
B
n
=
−
1
n
+
1
∑
k
=
1
n
(
n
+
1
k
+
1
)
B
n
−
k
,
n
∈
N
.
{\displaystyle B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .}
Написана в 1713 году Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме
B
1
{\displaystyle B_{1}}
Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли
B
n
(
x
)
{\displaystyle B_{n}(x)}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
B
n
=
B
n
(
0
)
.
{\displaystyle B_{n}=B_{n}(0).}
Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд . Например:
Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
x
e
x
−
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
x
n
,
|
x
|
<
2
π
,
{\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n},|x|<2\pi ,}
x
ctg
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
B
2
n
2
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
,
|
x
|
<
π
,
{\displaystyle x\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi ,}
tg
x
=
∑
n
=
1
∞
|
B
2
n
|
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
,
|
x
|
<
π
/
2.
{\displaystyle \operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2.}
Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s ) при чётных s = 2k :
B
2
k
=
2
(
−
1
)
k
+
1
ζ
(
2
k
)
(
2
k
)
!
(
2
π
)
2
k
.
{\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\,(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.}
А также
B
n
=
−
n
ζ
(
1
−
n
)
{\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)}
n > 1.
∫
0
∞
x
2
n
−
1
d
x
e
2
π
x
−
1
=
1
4
n
|
B
2
n
|
,
n
=
1
,
2
,
…
.
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}\,dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .}
Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой:
|
B
n
|
∼
2
⋅
n
!
(
2
π
)
n
{\displaystyle |B_{n}|\sim {\frac {2\cdot n!}{(2\pi )^{n}}}}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
lim
k
→
∞
ζ
(
2
k
)
=
1
по
k
∈
Z
{\displaystyle \lim \limits _{k\to \infty }{\zeta (2k)}=1\;{\text{по}}\;k\in \mathbb {Z} }
Получение чисел Бернулли из дзета-функции Римана Теорема Штаудта-Клаузена утверждает, что
B
2
n
+
∑
(
p
−
1
)
|
2
n
1
p
∈
Z
.
{\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .}
Из неё, в частности, следует, что знаменатель дроби
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
p таких, что p − 1 делит 2n . 
