Топологическая K-теория (Mkhklkincyvtgx K-mykjnx)

Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике, топологическая K-теория является подразделом алгебраической топологии. В начале своего существования она применялась для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) K-теории, введенной Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атья и Фридриху Хирцебруху.

Определения

[править | править код]

Пусть Xкомпактное хаусдорфово пространство и или . Тогда определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных -векторных расслоений над X с суммой Уитни. Тензорное произведение расслоений задаёт на K-теории структуру коммутативного кольца. Без индекса, обычно обозначает комплексную K-теорию, тогда как вещественная K-теория иногда обозначается как . Далее мы рассматриваем комплексную K-теорию.

В качестве начального примера заметим, что K-теорией точки являются целые числа. Это связано с тем, что все векторные расслоения над точкой тривиальны и поэтому классифицируются своим рангом, а группа Гротендика натуральных чисел это целые числа.

Существует редуцированная версия K теории, ,которая определяется для X — компактных пространств с выделенной точкой (ср. приведенные гомологии ). Приведенную теорию можно интуитивно рассматривать как K(X) по модулю тривиальных расслоений. Она определяется как группа классов стабильной эквивалентности расслоений. Два расслоения E и F называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения и , такие что , Это отношение эквивалентности задает структуру группы на множестве векторных расслоений, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. С другой стороны , можно определить как ядро отображения индуцируемого вложением базовой точки x0 в X.

K-теория является мультипликативной (обобщенной) когомологической теорией. Короткая точная последовательность пространств с выделенной точкой (X, A)

Продолжается до длинной точной последовательности

Пусть Sn будет n-ой приведенной надстройкой пространства. Тогда определим:

Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы кограничное отображение увеличивало размерность.

Часто имеет смысл рассматривать нередуцированную версию этих групп, определенную как:

Где это с отдельной выделенной точкой, помеченной знаком «+». [1]

Наконец, теорема Ботта о периодичности, сформулированная ниже, даёт нам теории с положительными индексами.

  • Спектром K-теории является (с дискретной топологией на ), т.е. где [, ] обозначает классы отображений помеченных пространств с точностью до гомотопии, а BU - копредел классифицирующих пространств унитарных групп: Аналогично,
Для вещественной K теории используется пространство BO .
  • Принцип расщепления в топологической K-теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах одномерных расслоений.
где T(E) - пространство Тома векторного расслоения E над X. Это выполняется когда E является спинарным расслоением.
  • Топологическую K-теория можно обобщить до функтора на C*-алгебрах.

Периодичность Ботта

[править | править код]

Периодичность, названную в честь Рауля Ботта, можно сформулировать так:

  • и , где H - класс тавтологического расслоения на то есть на сфере Римана.

В вещественной K теории существует похожая периодичность, только по модулю 8.

Приложения

[править | править код]

Два самых известных применения топологической K-теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил задачу о единичном инварианте Хопфа, сделав вычисления с помощью операций Адамса . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах.

Характер Чженя

[править | править код]

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, которая связывает топологическую K-теорию CW-комплекса с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм

такой, что

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия .

  1. Источник. Архивировано 17 апреля 2018 года.

Литература

[править | править код]