В математикетождества Ньютона, также известные как формулы Ньютона — Жирара, задают соотношения между двумя типами симметрических многочленов, а именно между элементарными симметрическими многочленами и степенными суммами Ньютона. Для произвольного многочлена P они дают возможность выразить сумму k-х степеней всех корней P (с учётом кратности) через коэффициенты P, без фактического нахождения корней. Эти тождества были открыты Исааком Ньютоном около 1666 года, и возможно, в ранних работах (1629) Альберта Жирара. Они находят применение во многих областях математики, в том числе в теории Галуа, теории инвариантов, теории групп, комбинаторике, а также в других науках, в том числе в общей теории относительности.
Для переменных и для рассмотрим суммы -тых степеней этих переменных:
Обозначим также через элементарные симметрические многочлены. Многочлен представляет собой сумму всех возможных произведений разных переменных, в частности
Тогда тождества Ньютона могут быть записаны следующим образом:
для всех . В частности, для
Для нескольких первых значений получим:
Истинность этих тождеств не зависит от количества переменных, даже когда левая и правая части равны нулю. Эти равенства позволяют рекуррентно выразить через :
Каждое отдельное из тождеств Ньютона может быть проверено с помощью элементарных алгебраических операций, однако общая формула требует доказательства. Существует несколько различных способов вывода тождеств.
Ниже мы обозначаем количество переменных через , а номер тождества (количество слагаемых в сумме в правой части) через .
Из этого выражения немедленно следует -тое тождество Ньютона при переменных. Поскольку оно является тождеством между симметрическимиоднородными многочленами.
Далее всё выводится из этого факта. При тождество очевидным образом получается из присваивания в тождестве для
Пусть теперь . Обозначим через и соответственно левую и правую части тождества. Из выполнения тождества при следует, что
Однако из этого следует, что разность представима в виде для любого (если бы не была, то при каких-то разность была бы ненулевой и одно из равенств, обозначенных выше, не выполнялось бы). Следовательно, разность представима в виде , однако это невозможно так как полная степень и и равна .
Аналогичные рассуждения для дают индукционный переход и доказывают тождества для произвольного .
Пусть фиксировано некоторое . Обозначим через сумму всех одночленов, состоящих из различных переменных, одна из которых входит в одночлен со степенью , а все другие - со степенью 1. Такие одночлены естественным образом возникают в произведении (переменные со степенью "приходят" из полинома , а остальные, входящие в одночлен с первой степенью - из ).
Конкретнее, легко проверяются следующие тождества:
Особенность первого из них обусловлена, грубо говоря, тем, что при для одночлена однозначно понятно, какая переменная взята из , а какие - из , так что каждый такой многочлен входит в произведение с коэффициентом . В случае же многочлен встретится в произведении ровно раз - как каждое возможное перемножение одной из переменных с остальной частью одночлена: . Это даёт коэффициент при
Из представленных выше тождеств легко получить, что
где коэффициенты - симметрические многочлены, определённые выше. При известных значениях степенных сумм коэффициенты многочлена можно найти из рекуррентных формул.
Тождества Ньютона позволяют свести вычисление коэффициентов характеристического многочлена матрицы к вычислению следа различных её степеней.
Рассмотрим характеристический многочлен некоторой матрицы . Его корни являются собственными числами этой матрицы (каждый корень представлен со своей кратностью). Тогда коэффициенты характеристического многочлена выражаются через симметрические многочлены .
Для любого положительного собственными числами матрицы являются степени . Поскольку сумма собственных чисел матрицы равна её следу, то
Следовательно, и , и коэффициенты характеристического многочлена можно выразить линейно из . Вычисление коэффициентов многочлена, таким образом, сводится к двум этапам:
вычисление степеней матрицы и их следа
решение системы линейных уравнений с треугольной матрицей
Оба этапа относятся к классу сложности NC, так что задача нахождения коэффициентов характеристического многочлена тоже относится к классу NC. На этой идее основан алгоритм Фадеева-Леверье[англ.] (1840).
Поскольку по теореме Гамильтона-Кэли любая матрица является корнем своего характеристического многочлена, то быстрое вычисление коэффициентов этого многочлена даёт быстрый способ нахождения обратной матрицы.
Cox, David; Little, John, and O'Shea, Donal. Ideals, Varieties, and Algorithms (неопр.). — New York: Springer-Verlag, 1992. — ISBN 978-0-387-97847-5.
Eppstein, D.; Goodrich, M. T. (2007). "Space-efficient straggler identification in round-trip data streams via Newton's identities and invertible Bloom filters". Algorithms and Data Structures, 10th International Workshop, WADS 2007. Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 4619. pp. 637—648. arXiv:0704.3313. Bibcode:2007arXiv0704.3313E.{{cite conference}}: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)
Littlewood, D. E. The theory of group characters and matrix representations of groups (англ.). — Oxford: Oxford University Press, 1950. — P. viii+310. — ISBN 0-8218-4067-3.
Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials (англ.). — Oxford: The Clarendon Press, Oxford University Press, 1979. — P. viii+180. — (Oxford Mathematical Monographs). — ISBN 0-19-853530-9.
Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials (англ.). — Second. — New York: Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, 1995. — P. x+475. — (Oxford Mathematical Monographs). — ISBN 0-19-853489-2.