Телескопический ряд в математике — бесконечный ряд , чья сумма может быть легко получена, исходя из того, что при раскрытии скобок почти все слагаемые взаимно уничтожаются. Название дано по аналогии с трубой телескопа , который может уменьшить свою длину, сложившись несколько раз.
Самый известный пример такого ряда — сумма обратных прямоугольных чисел :
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
1
n
−
1
n
+
1
)
=
=
(
1
−
1
2
)
+
(
1
2
−
1
3
)
+
⋯
=
=
1
+
(
−
1
2
+
1
2
)
+
(
−
1
3
+
1
3
)
+
⋯
=
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots =\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots =1.\end{aligned}}}
Суть телескопических сумм заключается в том, что каждое слагаемое ряда представляется в виде разности и поэтому частичная сумма ряда упрощается:
∑
i
=
1
n
(
a
i
−
a
i
+
1
)
=
(
a
1
−
a
2
)
+
(
a
2
−
a
3
)
+
⋯
+
(
a
n
−
1
−
a
n
)
+
(
a
n
−
a
n
+
1
)
=
a
1
−
a
n
+
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i+1})=(a_{1}-a_{2})+(a_{2}-a_{3})+\cdots +(a_{n-1}-a_{n})+(a_{n}-a_{n+1})=a_{1}-a_{n+1}}
Аналогично можно представить себе «телескопическое» произведение, то есть бесконечное произведение вида:
∏
i
=
1
n
a
i
+
1
a
i
=
a
2
a
1
⋅
a
3
a
2
⋅
a
4
a
3
⋯
a
n
a
n
−
1
⋅
a
n
+
1
a
n
=
a
n
+
1
a
1
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdot {\frac {a_{3}}{a_{2}}}\cdot {\frac {a_{4}}{a_{3}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\cdot {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}}
При суммировании условно сходящихся бесконечных рядов нужно обращать внимание, что перегруппировка слагаемых может привести к изменению результата (см. Теорема Римана об условно сходящихся рядах ). Например, «парадокс» с рядом Гранди :
0
=
∑
n
=
1
∞
0
=
∑
n
=
1
∞
(
1
−
1
)
=
1
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
+
1
)
=
1
{\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{\infty }0=\sum _{n=1}^{\infty }(1-1)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1+1)=1}
Этого можно избежать, если всегда рассматривать сумму первых n членов, а потом найти предел при
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
Многие тригонометрические функции позволяют представление в виде разности, что позволяет организовать взаимное уничтожение соответствующих слагаемых
∑
n
=
1
N
sin
(
n
)
=
∑
n
=
1
N
1
2
cosec
(
1
2
)
(
2
sin
(
1
2
)
sin
(
n
)
)
=
=
1
2
cosec
(
1
2
)
∑
n
=
1
N
(
cos
(
2
n
−
1
2
)
−
cos
(
2
n
+
1
2
)
)
=
=
1
2
cosec
(
1
2
)
(
cos
(
1
2
)
−
cos
(
2
N
+
1
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\operatorname {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)=\\&{}={\frac {1}{2}}\operatorname {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)=\\&{}={\frac {1}{2}}\operatorname {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}
(
x
−
1
)
∑
k
=
0
n
x
k
=
∑
k
=
0
n
(
x
k
+
1
−
x
k
)
=
x
n
+
1
−
1.
{\displaystyle (x-1)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k+1}-x^{k})=x^{n+1}-1.}
иногда приходится применять «телескопическое» преобразование два раза:
(
x
−
1
)
2
∑
k
=
1
n
k
x
k
−
1
=
∑
k
=
1
n
(
k
x
k
+
1
−
2
k
x
k
+
k
x
k
−
1
)
=
=
∑
k
=
1
n
[
k
x
k
+
1
−
(
k
−
1
)
x
k
]
−
∑
k
=
1
n
[
(
k
+
1
)
x
k
−
k
x
k
−
1
]
=
n
x
n
+
1
−
(
n
+
1
)
x
n
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}(x-1)^{2}\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}&=\sum _{k=1}^{n}(kx^{k+1}-2kx^{k}+kx^{k-1})=\\&=\sum _{k=1}^{n}[kx^{k+1}-(k-1)x^{k}]-\sum _{k=1}^{n}[(k+1)x^{k}-kx^{k-1}]=nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1\end{aligned}}}
Другой метод вычисления этой суммы — представить слагаемые в виде производной от геометрической прогрессии:
∑
k
=
1
n
k
x
k
−
1
=
d
d
x
∑
k
=
0
n
x
k
=
d
d
x
x
n
+
1
−
1
x
−
1
=
(
n
+
1
)
x
n
(
x
−
1
)
−
(
x
n
+
1
−
1
)
(
x
−
1
)
2
=
n
x
n
+
1
−
(
n
+
1
)
x
n
+
1
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}{\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}={\frac {(n+1)x^{n}(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^{2}}}={\frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x-1)^{2}\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}&=\sum _{k=1}^{n}(kx^{k+1}-2kx^{k}+kx^{k-1})=\\&=\sum _{k=1}^{n}[kx^{k+1}-(k-1)x^{k}]-\sum _{k=1}^{n}[(k+1)x^{k}-kx^{k-1}]=nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e619f8f81f270c8d96200f0802066c77e481900)
