Теорема Шура — Зассенхауса (Mykjybg Orjg — {gvvyu]grvg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Шура — Зассенхауса — это теорема теории групп, которая утверждает, что если G является конечной группой, а N является нормальной подгруппой, порядок которой взаимно прост с порядком факторгруппы G/N, то G является полупрямым произведением (или расщепляемым расширением) подгруппы N и факторгруппы G/N.

Альтернативная формулировка теоремы. Любая нормальная подгруппа Холла[англ.] N конечной группы G имеет дополнение подгруппы[англ.] в группе G. Более того, если либо N, либо G/N разрешима, то теорема Шура — Зассенхауса также утверждает, что все дополнения N в G сопряжены. Предположение, что либо N, либо G/N разрешима, может быть опущено, так как оно выполняется всегда, но все известные доказательства этого требуют применения куда более сложной теоремы Фейта — Томпсона.

Теорема Шура — Зассенхауса, по меньшей мере частично, отвечает на вопрос: «В композиционном ряду[англ.] как мы можем классифицировать группы с определённым множеством композиционных факторов?» Другая часть, в которой композиционные факторы не имеют взаимно простого порядка, разбирается в теории расширений групп.

Теорему Шура — Зассенхауса выдвинул Ганс Зассенхаус[англ.][1]. Теорема 25, которую он приписывает Исаю Шуру, доказывает существование дополнения подгруппы, а теорема 27 доказывает, что все дополнения смежны при предположении, что N или G/N разрешима. Нелегко найти явное утверждение существования дополнения в опубликованных работах Шура, хотя из результатов Шура[2][3] о мультипликаторах Шура вытекает существование дополнения в специальном случае, когда нормальная подгруппа является центром. Зассенхаус указал на то, что теорема Шура — Зассенхауса для неразрешимых групп была бы верна, если бы все группы нечётного порядка были разрешимы, что позднее доказали Фейт и Томпсон. Эрнст Витт показал, что это следовало бы также из гипотезы Шрайера[англ.][4], но гипотеза Шрайера была доказана с использованием классификации конечных простых групп, которая существенно сложнее теоремы Фейт-Томпсона.

Если мы не накладываем условие взаимной простоты, теорема становится неверной. Рассмотрим, например, циклическую группу и её нормальную подгруппу . Тогда, если бы была полупрямым произведением и , то должна была бы содержать два элемента порядка 2, но она содержит только один элемент. Другой способ показать невозможность расщепления (то есть выражения группы в виде полупрямого произведения), это наблюдение, что автоморфизмы группы являются тривиальной группой, так что единственно возможное [полу]прямое произведение группы на себя, это прямое произведение (которое даёт четверную группу Клейна, группу, которая не изоморфна ).

Пример случая, когда теорема Шура — Зассенхауса применима, это симметрическая группа из 3 символов, , которая имеет нормальную подгруппу порядка 3 (изоморфную ), которая, в свою очередь, имеет индекс 2 в (что согласуется с теоремой Лагранжа), так что . Поскольку 2 и 3 взаимно просты, теорема Шура — Зассенхауса применима и . Заметим, что группа автоморфизмов группы равна и автоморфизм группы , используемый в полупрямом произведении, которое даёт , является нетривиальным автоморфизмом, который переставляет два неединичных элемента группы . Более того, три подгруппы порядка 2 в (любая из которых может выступать как дополнение в ) смежны.

Вывод о нетривиальности (дополнительной) смежности можно проиллюстрировать на четверной группе Клейна как ложный пример. Любая из трёх собственных подгрупп группы (все имеют порядок 2) нормальна в . Фиксируя одну из этих подгрупп, любая из двух оставшихся (собственных) подгрупп дополняют её в , но ни одна из этих трёх подгрупп группы не смежна другой, поскольку группа абелева.

Группа кватернионов имеет нормальные подгруппы порядка 4 и 2, но не является [полу]прямым произведением. Статьи Шура в начале 20-го века ввели понятие центрального расширения для примеров, таких как и кватернионов.

Доказательство

[править | править код]

Существование дополнения нормальной подгруппы Холла H конечной группы G может быть доказано следующими шагами:

  1. По индукции по порядку группы G мы можем предположить, что это верно для всех групп меньшего размера.
  2. Если подгруппа H абелева, то существование дополнения следует из факта, что группа когомологий H2(G/H,H) исчезает (так как H и G/H имеют взаимно простые порядки) и факта, что смежность всех дополнений следует из исчезновения H1(G/H,H).
  3. Если подгруппа H разрешима, она имеет нетривиальную абелеву подгруппу A, которая является характеристикой в H, а потому нормальной в G. Применение Шура — Зассенхауса к G/A сокращает доказательство случая, когда H=A абелева, что сделано на предыдущем шаге.
  4. Если нормализатор N=NG(P) любой p-силовской подгруппы P подгруппы H равен G, то H нильпотентна, и, в частности, разрешима, так что теорема вытекает из предыдущего шага.
  5. Если нормализатор N=NG(P) некоторой p-силовской подгруппы P подгруппы H меньше, чем G, то по индукции теорема Шура — Зассенхауса выполняется для N и дополнение NH в N является дополнением для H в G, поскольку G=NH.

Примечания

[править | править код]
  1. Zassenhaus, 1958, с. Chapter IV, section 7.
  2. Schur, 1904.
  3. Schur, 1907.
  4. Witt, 1998, с. 277.

Литература

[править | править код]
  • Joseph J. Rotman. An Introduction to the Theory of Groups. — Fourth. — New York: Springer–Verlag, 1995. — Т. 148. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94285-8. — doi:10.1007/978-1-4612-4176-8.
  • David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. — Third. — Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. — ISBN 978-0-471-43334-7.
  • Wolfgang Gaschütz. Zur Erweiterungstheorie der endlichen Gruppen // J. Reine Angew. Math.. — 1952. — Т. 190. — С. 93–107. — doi:10.1515/crll.1952.190.93.
  • John S. Rose. A Course on Group Theory. — Cambridge-New York-Melbourne: Cambridge University Press, 1978. — ISBN 0-521-21409-2.
  • I. Martin Isaacs. Finite Group Theory. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2008. — Т. 92. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-0-8218-4344-4. — doi:10.1090/gsm/092.
  • Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher. The Theory of Finite Groups: An Introduction. — New York: Springer-Verlag, 2004. — (Universitext). — ISBN 0-387-40510-0. — doi:10.1007/b97433.
  • James E. Humphreys. A Course in Group Theory. — New York: The Clarendon Press, Oxford University Press, 1996. — (Oxford Science Publications). — ISBN 0-19-853459-0.
  • Issai Schur. Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochen lineare Substitutionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1904. — Т. 127. — С. 20-50.
  • Issai Schur. Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1907. — Т. 132. — С. 85-137.
  • Ernst Witt. Collected papers. Gesammelte Abhandlungen / Ina Kersten. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — ISBN 978-3-540-57061-5. — doi:10.1007/978-3-642-41970-6.
  • Hans Zassenhaus. Lehrbuch der Gruppentheorie. — Leipzig and Berlin: Teubner, 1937. — Т. 21. — (Hamburger Mathematische Einzelschriften).
    • Hans J. Zassenhaus. The theory of groups.. — 2nd. — New York: Chelsea Publishing Company, 1958. Перевод на английский