Теорема Риба о сфере (Mykjybg JnQg k vsyjy)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Риба о сфере: Пусть на замкнутом ориентируемом связном многообразии существует слоение с особенностями, все особые точки которого изолированы и являются центрами. Тогда гомеоморфно сфере , и слоение имеет ровно две особые точки.

Теорема доказана в 1946 году французским математиком Жоржем Рибом.

Морсовское слоение

[править | править код]

Изолированная особая точка слоения F называется точкой морсовского типа, если в её малой окрестности все слои являются уровнями некоторой функции Морса, а сама она является критической точкой этой функции.

Особая точка морсовского типа называется центром, если она является локальным экстремумом функции; в противном случае она называется седлом.

Обозначим ind p = min(kn − k), индекс особенности , где k — индекс соответствующей критической точки морсовской функции. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла по меньшей мере 1.


Морсовское слоение F на многообразии M это особое трансверсально ориентированное слоение коразмерности 1 класса C2 с изолированными особенностями, причем:

  • все особенности F морсовского типа,
  • каждый особый слой L содержит только одну особую точку p; при этом, если ind p = 1 то несвязно.

Пусть c — число центров морсовского слоения F, и  — число его седел, оказывается, что разность c − s тесно связана с топологией многообразия .

Теорема Риба о сфере

[править | править код]

Рассмотрим случай c > s = 0, то есть все особенности являются центрами, седла отсутствуют.

Теорема:[1] Пусть на замкнутом ориентированном связном многообразии размерности существует -трансверсально ориентированное слоение коразмерности 1 с непустым множеством изолированных особых точек, которые все являются центрами. Тогда слоение имеет ровно две особые точки, и многообразие гомеоморфно сфере .

Этот факт является следствием теоремы Риба об устойчивости.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Более общим является случай

В 1978 году Вагнер (E. Wagneur) обобщил теорему Риба о сфере на морсовские слоения с седлами. Он показал, что число центров не может быть слишком велико в сравнении с числом седел, а именно, . Таким образом, есть ровно два случая, когда :

(1)
(2)

Вагнер также описал многообразия, на которых существуют слоения, удовлетворяющие случаю (1).

Теорема[2]: Пусть на компактном связном многообразии , существует морсовское слоение с центрами и седлами. Тогда . Если , то

  • гомеоморфно сфере ,
  • все седла имеют индекс 1,
  • каждый неособый слой диффеоморфен сфере .

Наконец, в 2008 году Камачо и Скардуа (C. Camacho, B. Scardua) рассмотрели случай (2), . Интересно, что этот случай возможен только в некоторых размерностях.

Теорема[3]: Пусть компактное связное многообразие и  — морсовское слоение на . Если , то

  • или ,
  1. G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complétement intégrable ou d’une fonction numérique. — C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp. 847—849.[1] Архивная копия от 9 марта 2016 на Wayback Machine
  2. E. Wagneur, Formes de Pfaff à singularités non dégénérées — Annales de l’institut Fourier, 28, N3, 1978, p. 165—176 [2] Архивная копия от 5 июня 2011 на Wayback Machine
  3. C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, p. 4065—4073[3]