Теорема Кэли о числе деревьев (Mykjybg Tzln k cnvly ;yjyf,yf)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Полный список деревьев на 2, 3 и 4 вершинах с , и деревьями соответственно.

Теорема Кэли о числе деревьев — теорема, утверждающая, что число деревьев с пронумерованными вершинами равно .

Теорема названа в честь Артура Кэли, который доказал её в 1889 году.[1] Сам Кэли признавал, что то же утверждение было доказано раньше Карлом Борхардом и в эквивалентной формулировке ещё раньше в статье Джеймса Джозефа Сильвестра 1857 года.[2]

В своей статье Кэли по сути доказывает более общее утверждение. Если раскрыть скобки выражения

то коэффициент при одночлене вида будет равен числу деревьев, у которых степени вершин равны степеням переменных данного терма: .

Кэли подробно разбирает случай и заявляет, что доказательство легко обобщается.

Формулировки

[править | править код]

Две эквивалентные формулировки:

  • Число различных деревьев на вершинах, пронумерованных числами от до , равно .

Связанные утверждения

[править | править код]
  • Количество деревьев на пронумерованных вершинах оказывается также равным числу разложений -цикла в произведение транспозиции.
  • Количество деревьев на пронумерованных вершинах оказывается также равным числу (соответствующим образом нормированных) многочленов степени с заданными критическими значениями общего положения.

О доказательствах

[править | править код]
  • Формула Кэли немедленно следует из свойств кода Прюфера — способа однозначного кодирования -вершинного помеченного дерева упорядоченной последовательностью из номеров его вершин.
  • Одно из доказательств строится на следующем соотношении
на экспоненциальную производящую функцию
где обозначает число корневых деревьев на данных вершинах. По теореме Лагранжа об обращении рядов, из этого соотношения следует, что . Последнее влечёт формулу Кэли поскольку для каждого остовного дерева есть ровно способов выбрать корневую вершину.[3]

Вариации и обобщения

[править | править код]
  • Количество способов связывания графа, состоящего из несвязных компонент, каждая размером вершин, равно
    Здесь — общее количество вершин графа.
    Если каждая компонента состоит из одной вершины , то , и формула дает исходное число Кэли .

Примечания

[править | править код]
  1. Cayley A. A theorem on trees. Quart. J. Pure Appl. Math., 23 (1889), 376–378; Collected Mathematical Papers, Vol. 13, Cambridge University Press, 1897, 26–28.
  2. Biggs N. L., Lloyd E. K., Wilson R. J. Graph Theory 1736-1936. Clarendon Press, Oxford, 1976.
  3. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — Мир, 1977.
  4. David Benko, «A New Approach to Hilbert's Third Problem» The American Mathematical Monthly Vol. 114, No. 8 (Oct., 2007), pp. 665--676

Литература

[править | править код]