Теорема Егорова (Mykjybg Yikjkfg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

[править | править код]

Пусть дано пространство с конечной мерой так, что , и определённая на нём последовательность измеримых функций , сходящаяся почти всюду к . Тогда для любого существует множество такое, что , и последовательность равномерно сходится к на .

В формальной записи:

на на

Доказательство

[править | править код]

Рассмотрим множество всех из , для которых хотя бы один член последовательности имеет номер, не меньший , но в точке его разность с по модулю больше Из свойства сходимости почти всюду следует, что предел при возрастающем меры этого множества равен нулю для любого натурального [1]

Значит, по определению предела найдутся такие номера , что мера меньше Выберем натуральное число так, что для него Теперь возьмём равным объединению множеств по всем , не меньшим Тогда мера в силу счётной аддитивности равна сумме мер множеств , так что верна оценка:

В то же время дополнение является множеством всех из , которые не попали в , то есть таких , что для любого натурального , не меньшего , и члена последовательности с любым номером, не меньшим , разность этого члена в точке с по модулю не больше Значит, для любого положительного найдётся номер , где натуральное одновременно больше как , так и , что во всех точках множества все следующие члены ряда по модулю отличаются от не больше, чем не , а в силу выбора меньше, чем на Следовательно, равномерно сходится к на множестве по определению.

  • Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
  • Конечность принципиальна. Пусть, например, , где  — борелева σ-алгебра на , а  — мера Лебега. Заметим, что . Пусть , где обозначает индикатор-функцию множества . Тогда сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Сходимость почти всюду
  2. Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.

Литература

[править | править код]
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.